二次方程式の解の存在範囲についてです。

質問

次の問題のとき方について分からないところがあったので質問させていただきます
問題　二次方程式x二乗＋２mx＋３mの異なる二つの実数解がともに
－2＜x＜３の範囲にあるように定数mの範囲を定めよ

この問題についてですが、fx＝x二乗＋２mx＋３mとおいたとき
(1)頂点のy座標が負で
(2)ｆ－2とｆ３のときの値が正
の二つの条件を満たせばよいと思ったんですが
(3)軸が－2＜x＜３の範囲
という条件も必要なみたいです

(3)の条件がなくてもいいように思えてしまうんですが理由を教えてもらえないでしょうか

回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

そのf(x)のグラフを思い浮かべて下さい。
頂点のyの値（負の値）を保持したまま、軸をそっくり大きく動かしてみて下さい。軸を3より大きいほうへうごかしてf(3)>0にした時、f(-2)>0も成り立ってます。軸を-2より左に動かしてf(-2)>0にした時にもf(3)>0も成り立っています。これらの場合(1)（２）を満たして、かつ根は-2<x<3から外れるグラフになりますね。だから(3)が必要なのです。

回答No.4

take_5

別解-2を。。。。。笑

x＾2＝-2m（x+3/2）と変形すると、放物線：y＝x＾2と直線：y＝-2m（x+3/2）が-2＜x＜3の範囲で2つの交点を持つための直線の傾き：-2mの値の範囲を定めると良い。
ところが、この直線は定点（-3/2,0）を通る直線であるから、Ａ（3、9）、Ｂ（-2、4）とすると、点Ｂを通る時の直線の傾き＜-2m＜点Ａを通る時の直線の傾き、として求められる。

このように数学は、1つの問題に解法は1つとは限らない。いろいろやってみることが自分のlevel_upに大きく貢献する。

但し、実際の計算は自分でやってね。

回答No.3

take_5

解説は他の人に任せるとして、別解を。。。。。笑

2つの解をα、βとすると解と係数の関係から、α＋β＝-2m、αβ＝3m‥‥(1)からmを消去すると、2αβ＋3（α＋β）＝0より　4αβ＋6（α＋β）＝0と変形して、（2α＋3）*（2β＋3）＝9　‥‥(2)　-2＜α＜3、-2＜β＜3‥‥(3).
(3)と(2)をαβ平面上に図示して、(1)より直線：β＝-α-2mについてのβ切片＝-2mの値の範囲を考えると良い。後は、単なる計算問題。

回答No.1

info22

(3)の条件が無いと
2実根が
共に3より大
のケースや
共に-2未満
のケースも含まれていまいます。
これでは題意を満たしませんね。