2次方程式の解の範囲

質問

「2次方程式x^2－2x＋k－7＝0の異なる2つの解が0と3の間にあるとき、kの値を求めよ。」という問題があったとき、kの値を求める条件は、
　・f(0)＞0
　・f(8)＞0
　・k－8＜0(判別式)
……なことは分かるのですが、どうしてこの3つの条件なのでしょうか?
学校の先生に聞いたところ、「頂点や軸の位置を求めても意味がないから。」とのことでした。それはどうしてでしょうか?

よろしくお願いします。

回答No.8

htms42

２つの異なる解が０と３の間にあるための条件は
（１）判別式＞０
（２）０＜軸＜３
（３）ｆ(０)＞０
（４）ｆ(３)＞０
の４つです。

「与えられた式ではｋに関係なく軸についての条件が満たされている」ということはこの条件を考えなくていいということではありません。

（１）ｋ－８＜０
（２）軸はｘ＝１であるので満たされている。
（３）ｋ－７＞０
（４）ｋ－４＞０

私は条件（２）についての記述がなければ不十分な回答であると思います。論証に穴があるので誤りであるといってもいいかもしれません。
「ｋを求めよ」という問題では「ｋを含んだ条件式以外考える必要はない」という立場であれば明らかに誤りです。

＞、「頂点や軸の位置を求めても意味がないから。」

軸の位置がｘ＝１であるということを確めなければこの問題は解けません。本当に軸の位置を求めずに解いているのでしょうか。

回答No.7

mister_moonlight

＞確かに、軸の位置（x＝1）は大きな意味は持たないが、軸の位置が分かれば、グラフは書きやすい。

誤解され易い書き方なので訂正しておく。その教師の事、言えないか。。。。ｗ

方程式：f（x）＝x＾2-2ax＋b＝0の異なる2つの解が0と3の間にある時の条件は。

判別式＞0、f（0）＞0、f（3）＞0、0＜軸＜3。

つまり、軸は“重要なポイント”になる。この問題では、軸がわかっているから、ポイントにならないだけ。

回答No.6

mister_moonlight

＞「頂点や軸の位置を求めても意味がないから。」とのことでした。それはどうしてでしょうか?

君の疑問も、まったく可笑しいわけではない。
むしろ、教師が「頂点や軸の位置を求めても意味がないから。」ということの方が可笑しい。
判別式＞0というのは、この2次関数がx軸と異なる2点で交わるから、その頂点がx軸より下になければならない事を意味している。
y＝（x-1）＾2+k-8のグラフを書いてみると良い。

その教師は、ひょっとすると、判別式の意味が分かってないんじゃないか？

軸の位置にしても、グラフを書いて、条件を満たすには、f(0)とf(3)がどのようにならなければならないかに“間接的に”必要になる。
確かに、軸の位置（x＝1）は大きな意味は持たないが、軸の位置が分かれば、グラフは書きやすい。

その教師の言い方は、適切ではない。

回答No.5

noname#101087

>「2次方程式x^2－2x＋k－7＝0の異なる2つの解が0と3の間にあるとき、kの値を求めよ。」という問題 ....

「要らんこと、考えなさんな」という恩師のご忠告なので、すなおに解いてみる手をトライしてみたらいかが。

　・零点 xo = 1±SQRT(D),　(D = 8 - k) 。
　・「異なる2つの解」がある　→　8 - k > 0 (D≠0) 。
　　xo1 = 1 + SQRT(D), xo2 = 1 - SQRT(D)
　・「2 つの解 (xo1, xo2) が0と3の間にある」
　　　　　　　↓
　　xo1≦3,　xo2≧0　→　？？ (下記)

…という流れ。
ところで恩師が「0と3の間」とおっしゃるとき、両端は「あり」？それとも「なし」？
その点、くれぐれもご注意のほどを。

回答No.4

noname#111804

・f(8)＞0はf(３)＞0の誤りでは？

回答No.3

naniwacchi

3つの条件は、y=x^2-2x+k-7のグラフと x軸（y=0）との交点が、0<x<3の範囲にあることを示すことから与えられます。
f(8)＞0 ではなく、f(3)＞0だと思います。

先生の「頂点や軸の位置を求めても意味がないから。」というのは結果論にすぎません。
まず、必要な条件を書き出して、それらの条件を整理していくことが解答のはじまりです。
その中で計算した kの範囲が同じだったり、重なっていたりしているだけです。

2次試験のような記述式では、このあたりはきちんと書いていかないといけません。
面倒と思っても、書いていく癖をつけておくことをお奨めします。

回答No.2

proto

どうしてと聞く前に、実際計算してみましょう。

　　x^2-2x+k-7 = 0
　　(x-1)^2 +k-8 = 0
より、頂点の座標は(1,k-8)、軸はx=1です。

＞「頂点や軸の位置を求めても意味がないから。」とのことでした。それはどうしてでしょうか?

まずは頂点の条件から。
題意を満たすためには頂点はx軸よりも下になければなりません。
よって
　　k-8 < 0
となりますが、これは判別式から求めた、異なる2つの解を持つ条件と全く同じになります。

つぎに、軸の条件。
題意を満たすためには軸はx=0とx=3の間になければなりませんが、今回の軸の式はx=1で、kの値に関係なく軸が決まりますから、そもそも条件の立てようがありません。

先生が教えてくれる解法を素直に聞くのも良いかも知れませんが、疑問に思うことがあったら、自分で少し計算するだけで更に納得できるかも知れませんよ。
まずは手を動かしてみましょう。

回答No.1

tenti1990

軸の位置を求めても意味がないというのは、
計算すると軸の位置はx＝1となりあきらかに0から3の間にあるからです。
それで頂点の位置を求めても意味がないというのは
判別式＜０ということは頂点がｘ軸よりも下にあることを意味するからです。
ためしに頂点を求めてみて頂点のy座標＜0としてみると判別式＞0と同じ式になるはずです。