2次方程式の解の配置問題

質問

参考書を片手に勉強している社会人です。
試験問題だったため解答が分からなく、
参考書の類似問題の解説を見てみるも
今いち最後のつめが分かりません。
また、周りに聞ける人がいないため教えて下さい。

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問：2次方程式x~2+2(k+1)+1-k=0について
　　次の問いに答えなさい。

(1)この2次方程式の異なる2つの実数解が
　 ともに1以上になるとき
　 kの値のとりうる範囲を求めなさい。
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私が今分かることとしては
この手の問題は下3点に注目して答えを導き出すこと。
I．判別式Dの符号
II．グラフの軸の位置
III．端点のy座標
これら3つからでたkの値を数直線にし
3つとも当てはまる範囲がkの範囲だということ。

そして私が今分からないこととしては
IIIの「端点」とは何か（どんな点か）？

ちなみに途中まで行った計算などとしては
I．判別式Dの符号
D=b~2-4ac　より
D={2(k+1)}~2-4・1・(1-k)
省略します
D=4k(k+3) となり
「異なる2つの実数解」よりD>0
4k(k+3)>0
k=-3,0
k<-3,k>0…(1)

II．グラフの軸の位置
軸=-b/2a　より
軸=-2(k+1)/2・1
軸=-(k+1)
「ともに1以上」より軸も1以上
　　-(k+1)>1
k<-2…(2)

III．端点のy座標（分からないため推測です）
「ともに1以上」よりx>0で考える
端点はx=1の点？
式にx=1を代入すると
端点のy座標=k+4？
x=1の点はy軸でいうと0より上にあるべき
k+4>0？？？？

長くなり申し訳ありませんが
只今の自分の状態はこんな感じです。
ちなみに参考書やこちら掲示板の過去質問には
「解と係数の関係」を使って解くやり方もありましたが
根本の考え方が分からないためぜひこちらのやり方で
教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

No1です。
　端点ということについて説明してみます。

　この問題の場合、放物線y=x^2+2(k+1)x+1-kのグラフがx軸とどのような
関係になればいいかで考えました。２解とも１より大きいということで、
軸が１より大きくて、x軸とは　x=1以上の２ヶ所で交わるのが条件だった
わけです。このときのグラフの形を見ると、y軸に平行な直線x=1と放物線
が交わる部分は常に０以上になります。それ以外では、x軸との交点の１
つが１より小さくなってしまいます。（勿論軸は１より大きいという条件
の元でですが）この放物線が直線x=1と交わる所が端点です。まあ、文字
通りグラフの端っこの点という見方で、そこから左側の状態は関係ない
ので考えず、その点の状態だけを論じようということです。
この点の状態によってあることがらが決定付けられるので、非常に重要
な点であるわけですね。

だから、「２解が共に正」といえば、直線x=0(y軸)と交わる点が端点で、
ここが正になってればよいということがいえるし、「１つが２より小さく
１つが３より大きい」といえば、直線x=2,x=3と交わる点が端点で、共に
負になってればよいということがいえます。
（すべて、下に凸の放物線で、軸の条件も決めてあるということでの説明
でした）

お礼

遅くなりすみません。
説明ありがとうございました！
グラフと端点のイメージが
かなりすっきり分かるようになってきました。
まだケアレスミスや勘違いもあるので
また問題をこなしつつ慣れていきたいと思います。

回答No.2

springside

>>「解と係数の関係」を使って解くやり方もありましたが根本の考え方が分からないためぜひこちらのやり方で教えて下さい。

とのことですが、解と係数の関係でやるのは、何も考えなくても機械的にできて楽なので、覚えて損はないです。（グラフの軸や端点など考えなくても良いので）

まず、判別式D>0・・・(1)

2実数解をα、βとすると、両方とも1以上なので、
　α≧1、β≧1
である。

これは、
　α-1≧0、β-1≧0
ということなので、以下の式と同値である（※）。
　(α-1)+(β-1)≧0
　(α-1)(β-1)≧0

すなわち、
　α+β-2≧0
　αβ-(α+β)+1≧0

ここで、解と係数の関係により、
　α+β=-2(k+1)、αβ=1-k
なので、
　-2(k+1)-2≧0・・・(2)
　(1-k)+2(k+1)+1≧0・・・(3)

上記(1)、(2)、(3)より、kの範囲が判る。

注：上記※がポイントです。
α≧1、β≧1だからと言って、単純に
　α+β≧2
　αβ≧1
としてはいけません。必ず、0との比較をしなければなりません。（そうでないと同値とは言えない）

お礼

ありがとうございました。
確かに試験時はいつも時間がなくなるので
こっちのやり方も平行して
やってみたほうがよいですね。
まだ解と係数の関係をこの2次方程式にて
役立ててみたことがなかったので
上記参考にしながらがんばってみます。

回答No.1

debut

方程式はx^2+2(k+1)x+1-k=0 でいいですよね。（xがぬけていました）

＞III．端点のy座標（分からないため推測です）
＞「ともに1以上」よりx>0で考える
＞端点はx=1の点？
＞式にx=1を代入すると
＞端点のy座標=k+4？
＞x=1の点はy軸でいうと0より上にあるべき
＞k+4>0？？？？

　　ほぼこの解釈でよろしいのですが、解が１以上なのでx=1の点はy=0に
　　なってもよいです。だから、k+4≧0 と＝も入ります。

お礼

ありがとうございます。
問題文のx抜けすみませんでした。
助かりました。
実は端点をx=1にしてみたのは
類似問題にて
・「解がともに正」のとき端点x=0
・「2つの実数解をもち1つは3より大きく
　　1つは2より小さい」のとき端点x=2,x=3
というのがあったため、
この問題の場合はこうなるのかなと勘で設定してみて
実はあまり意味が分からなかったのです。
そのやり方でたぶん大丈夫だと思うのですが
もしよろしければ端点とはどんな点なのか
教えてくださるととても嬉しいです。
また、ラストの=が入る部分もありがとうございました。
私がよく最後に失敗する部分でした。