- ベストアンサー
軌跡の方程式が円の時の軌跡の存在範囲について
お世話になります。よろしくお願いします。 問題＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ パラメーターtが実数全体を動く時 X＝(1-t^2)/(1+t^2)、Y＝2t/(1+t^2)において 点P(X,Y)の軌跡を求めよ。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 必要条件でtを消去してxとyの関係式「x^2+y^2＝1」を求め、 さらに「x＝ー1+2/(1+t^2)」よりtを実数の範囲で動かすと xは「ー1＜x≦1」の範囲を動くという所までできましたが、 その後のyの存在範囲を求める所がよく分りません。 軌跡の方程式が円で xとyが1対1に対応していない所がとても厄介だと思います。 すなわちtが実数値を動きそれに伴いxが移動した時にyが円の上半分を動くのか下半分を動くのかもしくはその両方かが厳密には分かりづらいという事です。 ここの厄介な部分をどのように処理すればいいでしょうか？ 分かる方よろしくお願い致します。
- vigo24
- お礼率87% (859/977)
- 数学・算数
- 回答数6
- ありがとう数6
- みんなの回答 （6）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
二つの方法について説明します。 (1)微分して増減表を書く f(t)=2t/(1+t^2) とおき、f(t)をtで微分、増減表を書く。 t→-∞とt→∞についても調べる必要あり。 (2)2次方程式が実数解を持つ範囲として捉える Y=2t/(1+t^2) を変形すると Y*t^2-2t+Y=0 となります。このtに関する方程式が実数解を持つ範囲Yの範囲が求めるYの変域となる。 念のためにいうとY≠0とY=0で場合わけをしないといけません。 Y≠0のときは2次方程式となりますので判別式の条件から考えればよい。 Y=0のときはtが解を持つか別に確認すること。
その他の回答 (5)
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
貴方が何を正解と考えているのかは、判った。 必要条件 x^2+y^2=1 が在ることと、 各 x に対応する t の個数 (y の個数と一致する) を考えると、 軌跡は厳密に決まるのだけどね。
お礼
お礼が遅れましてすみません。 再度のご回答どうもありがとうございます。 xに対応するtの個数を数え、tの個数１コに付きyの個数が1コ対応する のもとても良い方法ですね。 とても勉強になりました。 この度はどうもありがとうございました。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
(x,y) の「動き」に囚われ過ぎじゃないかな。 対応する t が存在すれば軌跡上の点が存在し、 t が存在しなければ点も存在しないダケのこと。 -1＜x≦1 では対応する t が存在し、 x=-1 では存在しないことを 正しく求めたのなら、 y の存在・不存在も t と同じ。 t がわかれば、y=2t/(1+t~2) に代入するだけ なんだから。
お礼
ご回答どうもありがとうございます。 式の変形で -1＜x≦1、-1≦y≦1 の時にtが存在し、 xとyは関係式「x^2+y^2＝1」を満たす というだけであれば 第1象限がなく、第２、第３、第４象限のみの3/4円というのも条件を満たしてしまうので、円の第１象限部分も含むということを示すにはもう少し踏み込んだ議論が必要ではないかと思ったので、ここのあたりの処理に悩んでおりました。 やはり厳密に議論するにはtを追跡するのが良いみたいですね。 この度はどうもありがとうございました。
- htms42
- ベストアンサー率47% (1120/2361)
＞その後のyの存在範囲を求める所がよく分りません。 ＞「軌跡の方程式が円でxとyが1対1に対応していない所がとても厄介だと思います。 すなわちtが実数値を動きそれに伴いxが移動した時にyが円の上半分を動くのか下半分を動くのかもしくはその両方かが厳密には分かりづらいという事です。」 ｘとｙの関係が円になったのですから１つのｘの値に対して２つのｙの値が対応するというのは当然です。 でも１つのｔの値に対して一組の（ｘ、ｙ）が決まるのですから円のどちらを動いているかがわからないということはないはずなんです。 ｔ＝０で ｘ＝１、ｙ＝０ ０＜ｔ＜１で ｘ＞０、ｙ＞０ ｔ＝１で ｘ＝０、ｙ＝１ ｔ＞１で ｘ＜０、ｙ＞０ ０＞ｔ＞－１で ｘ＞０、ｙ＜０ ｔ＝－１で ｘ＝０、ｙ＝－１ ｔ＜－１で ｘ＜０、ｙ＜０ です。 ｔが０から正の方向に大きくなっていけば時計回りに円の上を回っていくということはわかりますね。 ｔに別の値を入れても構いません。 わかるまでｔに値を入れて調べればいいのです。
お礼
ご回答どうもありがとうございます。 やはりtを追ってグラフを追跡していくしかないですね。 答案としては増減表でグラフを書くというのが一番みたいです。 どうもありがとうございます。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
xはx、yはyで考えればいいと思います。 ＞xは「ー1＜x≦1」の範囲を動くという所までできましたが あるxに対しても、yは2つ対応します（1対1ではない）。 xもyもある意味同等の立場にあるということです。 たとえばの例として、あるtに対して y=±1/2となったとします。しかし、このtに対応するxが存在しなければ、その点（2点）は存在しないものとなります。 求め方自体は、#1の方が丁寧に説明されているとおりでいいと思います。
お礼
ご回答どうもありがとうございます。 やはり#1さんの方法がとても良い方法だと私も思います。 どうもありがとうございました。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
y/2＝t/（1+t^2）と変形できる。 (1) t＝0の時、y＝0 となり、満たす実数値が存在するから解の一部。 (2) t≠0の時、y/2＝t/（1+t^2）＝1/（分母）。但し、分母＝t＋（1/t）となる。従って、｜t＋（1/t）｜≧2より、｜y｜≦1. (1)と(2)より、｜y｜≦1。 実は、この問題は、t＝tanθ とすると、x＝(1-t^2)/(1+t^2)＝cos（2θ）、y＝2t/(1+t^2)＝sin（2θ）より、x^2+y^2＝1。 但し、θ≠±π/2より x≠-1 y≠0、即ち 点（-1、0）は除く と、すぐ分かるんだけどね。
お礼
ご回答どうもありがとうございます。 yの範囲を求めるのに微分してグラフを書くよりも良い方法があるのではないかと思っていたのですが、この2つの方法はすごいですね。 最初のtで割るのはいろいろな場面で使えそうですね。 どうもありがとうございます。 2つ目の方法は本当にびっくりですね。 そういえばsinθ、cosθはtanθ/2で表せるというのは習った憶えが ありましたが、まさかこんなところに隠れているなんて・・・。 どうもありがとうございました。
関連するQ&A
- 軌跡についての質問です
軌跡についての質問です （x－１）＋t(y-3)=0 tx－(y＋３)=0 ｘｙ平面上で ｔが正の実数全体を動くとき この２つのグラフの交点の描く図形はどうなるかという問題です。 ｔは正なので ｔを消去する際に ｔ＝（ｘ－１）／（３－ｙ） として ｘ＞１かつ３＞ｙ または ｘ＜１かつ ３＜ｙ と そして軌跡の方程式をもとめて範囲を定めると回答ではしています しかし ｔ＝（ｙ＋３）／ｘ ともできますよね？ だったら、ｘ＞０ かつ ｙ＞－３ または ｘ＜０ かつｙ＜－３ のときも検討しないといけないのではないかと思うのです。 私の考えは間違っていますか？回答よろしくお願いします。 こういった問題においては概して ｔ＞０を ｔ＝（ｘ－１）／（３－ｙ） または ｔ＝（ｙ＋３）／ｘ のどちらか片方について考えればいいのでしょうか？ また、そうであるならばこの問題に限らず、概していえることですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 軌跡と存在するための条件について
疑問に思ってしまったので、どうかよろしくお願いします。 問題）2直線mx-y+4m+21=0、x+my+3m-14=0の交点の軌跡を求めよ。 答え）点（X,Y）が求める軌跡上の点であるための条件は、 mX-Y+4m+21=0 かつ X+mY+3m-14=0 を満たす実数ｍが存在することである。上式をmについて整理すると、 (X+4)m-Y+21=0------(1) かつ X-14+(Y+3)m=0------(2) となるから、その条件は、 その1) X+4≠0のとき、(1)によって定まる定数m=(Y-21)/(X+4)が(2)を満たすこと、 すなわち、X-14+(Y+3)・(Y-21)/(X+4)=0 ∴(X-5)^2+(Y-9)^2=15^2----(3)（ただし、X≠-4より(-4,-3),(-4,21)は除く) その２）X+4=0のとき(1)を満たす実数ｍが存在するための条件は、(X,Y=(-4,21) 以上により、求める軌跡は、円(x-5)^2+(y-9)^2=15^2、ただし、点(-4,-3)は除く 疑問点）(1)かつ(2)の条件を求めるときに、「mが存在するためのX,Yの条件を求めるのに、mを消去して得られる」との事なのですが、いまいちこの技術が見えません・・・どうしてｍを消去することにより、ｍが存在するためのX,Yの条件が求まるのでしょうか。 良く、参考書には「文字定数を消去することにより出来た方程式で、その軌跡を得ることになる」とありその通りに使っていたのですがどういう事が起きているのか良く分からないのです・・・ 高校数学のレベルなら、その通り覚えて使っていくほうが良いのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学、軌跡
（問題） ｔは０≦ｔ≦１を満たす実数である。 ｘ＝ｔ＋１(1)、ｙ＝２ｔ(2)を満たす点P（ｘ、ｙ）の軌跡を求めよ。 （問題集の解答） Pの軌跡をWとする。 （ｘ、ｙ）がWに属することの定義は （ｘ、ｙ）⊂W⇔(1)(2)および０≦t≦１をみたすｔが存在する したがって、（ｘ、ｙ）⊂Wであるようなｘ、ｙの条件を求めるには ｔ＋１＝ｘ、２ｔ＝ｙ、０≦t≦１を同時にみたすようなｔが存在するようなｘ、ｙの条件言い換えると、2つの方程式ｔ＋１＝ｘ、２ｔ＝ｙが０≦t≦１の範囲に共通解を持つような条件を求めることが必要かつ十分。 ｔ＝ｘ－１、ｔ＝ｙ／２であるから、このｔが等しく、しかもｔが０≦ｔ≦１にあればよいから、ｘ－１＝ｙ／２かつ０≦ｘ－１≦１すなわち ｙ＝２ｘ－２かつ１≦x≦２が求める軌跡である。 （疑問） (1)2つの方程式ｔ＋１＝ｘ、２ｔ＝ｙが０≦t≦１の範囲に共通解を持つ⇒ｔが等しいからｘ－１＝ｙ／２かつ０≦ｘ－１≦１ (2)ｘ－１＝ｙ／２かつ０≦ｘ－１≦１⇒2つの方程式ｔ＋１＝ｘ、２ｔ＝ｙが０≦t≦１の範囲に共通解を持つ (1)は言えると思うのですが、ｘ－１＝ｙ／２かつ０≦ｘ－１≦１から2つの方程式ｔ＋１＝ｘ、２ｔ＝ｙが０≦t≦１の範囲に共通解を持つといえるのかどうかがわかりません。 ｘ－１＝ｙ／２かつ０≦ｘ－１≦１にはｔが入っていないのでここから２つの方程式が復元できるとは思えないのですが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- パラメータ消去について
tがすべての実数値をとって変化するとき、Ｐ(2t-1,(4^2)-1)の軌跡を求めよ というものについて、Ｐの座標を(X,Y)とおくと X=2t-1 Y=(4^2)-1 と置けますよね、 そこでＸを式変形してt=に直し、Ｙの式に代入しパラメータ消去する というのはよくやることで、何も考えずにやっていましたが。パラメータtが消去されちゃうってことはどういうことなんでしょうか・・・？ tによってx,yが定まるのにｔを消しちゃっていいのか？ tがなくなったということはtによらない関数だということか？ けどパラメータというのは、tの値によって、x,yが変動するものだから、tは必要だ。あくまでもその軌跡がもとめられただけだ・・・ などと考えてましたが・・・。 ☆つまり何がいいたいかというと、X= ～t ,Y= ～t とパラメータ表示されているものの軌跡の取りかたは、本質的な意味では、t=1,2,3・・・ などと点を細かくとっていき、それでできる方程式が軌跡である。ということだと思うのですが、t=～Xの式に直し、パラメータを消去しちゃったら、tにすべての値を代入した時のグラフ（軌跡）がいっきに求まってしまうとは・・・ なぜなんだろう・・・？と疑問に思いました。 ☆あと別の問題ですが、軌跡を求める問題で、軌跡の方程式が、(X^2)+(Y^2)+4X=0とまで変形できたときに円だ、とピンとくるべきですよね。x^2 y^2 が含まれていたら円だ！と思っていいでしょうか？ 楕円とか、双曲線ってのも問題によってはあるんでしょうか・・・？ ちなみに高３です・・・ よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 軌跡
実数a,bがa ^2+b ^2+2a+2b-2=0を満たしながら変化するとき、（a+b,ab）を座標するとする点P（x,y）は、どのような曲線を描くかその軌跡を求めよ。 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ a ^2+b ^2+2a+2b-2=0‥(1) 題意より、 x=a+b‥(2) y=ab‥(3) (1)より（a+b）^2 -2ab+2(a+b)-2 (2)(3)を代入して x^2 -2y+2x-2=0 ∴y=1/2x^2 ++x-1‥(4) (2)(3)よりa,bを二解にもつ二次方程式は t^2 -(a+b)t+ab=0 つまり t^2 -xt+y=0‥(5) a,bは実数であるから、tの二次方程式(5)は実数解を持たなければならない よって判別式をDとして D=ｘ^2 -4y≧0‥(6) (4)を(6)に代入して x^2 +4x-4≦0 2-2√2≦ｘ≦-２+2√2 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ この問題で a,bを二解にもつ二次方程式はt^2 -(a+b)t+ab=0 t^2 -xt+y=0‥(5) a,bは実数であるから、tの二次方程式(5)は実数解を持たなければならない よって判別式をDとして D=ｘ^2 -4y≧0‥(6) の部分がよくわかりません。(5)は二つの実数解をもって、判別式DはD＞0ではないのですか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数２の問題（複素数と方程式の範囲）を教えてください。
数２の問題（複素数と方程式の範囲）を教えてください。 aを実数の定数とする。方程式 (x^2-2x)^2-2(a+2)(x^2-2x)+4a+20=0 ・・・・・(1) について、次の各問に答えよ。 1.tを実数の定数とする。２次方程式x^2-2x=tが異なる２つの実数解をもつとき、 tのとり得る値の範囲を求めよ。 2.方程式(1)が異なる4つの実数解をもつとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。 3.方程式(1)が実数解をもたないとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。 という問題です。 1.は x^2-2x=t ⇔ x^2-2x-t=0 より、この方程式の判別式をDとすると D/4=1+t であり、異なる２つの実数解をもつのは、D>0のときであるから 1+t>0 ⇔ t>-1 （答） としてみましたが、これでいいのか自信ありません。 2.、3.はどうしたらよいかわかりません。 解法と解説をよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 軌跡の問題で
「tが全ての実数値をとる x=1/(t^2＋1)・・・(1)、y=t/(t^2＋1)・・・(2)で定まるP(x,y)の描く軌跡を求めよ。」 という問題で、 適当はtを用いて(1)と(2)と表せるということは、tについての２つの方程式(1)(2)が共通解をもつということである。 (2)の両辺を(1)で割ってy/x=t・・・(3) (1)と(3)をtの方程式とみなすと、共通の実数解があるのは(3)のただ１つの解を(1)に代入した式x=1/｛(y/x)^2＋1｝が成立するときである。 これを整理すると、x=x/(x^2＋y^2)かつx≠0 すなわちx^2＋y^2=xかつx≠0である。 という解答になるらしいのですが、x≠0というのはどこからどう求めるのでしょうか。教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答どうもありがとうございます。 なるほど！媒介変数を含む関数（サイクロイド）などと同様に増減表を書き、ｔを追ってグラフを書いていけばよいのですね。 早速自分なりの答案を作ってみましたら満足のいく解答ができました。 どうもありがとうございました。 ｙの範囲だけを求めるなら(２）の方法はとても良いですね。 覚えておきます。 どうもありがとうございました。