高校数学の軌跡の問題で・・・

質問

軌跡の問題でわからない点があったので質問しました。
高校数学です。

問１
aを任意の実数とするとき２つの直線ax＋y＝a x-ay＝-1
の交点はどんな図形をえがくか

問２　問１のとき、1/√3≦a≦√3のとき2直線の交点はどんな範囲にあるか？

問１はわかったんでが問２がわかりませんでした。
以下に問１を含めた解答です。

解説
ax＋y＝a・・・(1)
x-ay＝-1・・・(2)
(1)、(2)をみたす実数aが存在するためのx、yの条件を求める

(2)よりay＝x＋1

（i)・・・ｙ≠０のときa=x+1/y・・・＊
(1)に代入し。
x+1/y・x＋y＝x+1/y
よってx＾２＋y＾２＝１（ｙ≠０）

(ii)・・・y＝０のとき
x＝－１でありこのとき(1)はa=0
すなわち（x,y)=(-1,0)は条件をみたす。

（i)、(ii)より求める交点の軌跡は円x＾２＋y＾２＝１（１，０）を除く

以上が問１までの答えで、ここまでは理解できたのですが、
問２でわからないことがありました。

問２について解答

、
１/√3≦a≦√3・・・(3)として、
(1)、(2)、(3)をみたす実数実数aが存在するためのx、yの条件を求める。
問１よりｙ＝０のとき(1)、(2)をみたすaは０であり(3)をみらさない。

ｙ≠０のとき(1)(2)(3)をみたすx、yは＊より

x＾２＋y＾２＝１かつ1/√3≦x+1/y≦√3・・・(4)

－１＜x＜１よりx＋１＞０であり、(4)からy＞０
求める交点の軌跡はx＾２＋y＾２＝１、√３／２≦y≦１

という解答だったのですが、(4)までは分かるのですが、
最後の「－１＜x＜１よりx＋１＞０であり、(4)からy＞０
求める交点の軌跡はx＾２＋y＾２＝１、√３／２≦y≦１」
という部分がわかりません。とくに最後の「√３／２≦y≦１」
っていうのはどこから導きだされたのでしょうか？
一応図も添付します。

回答No.1

tomokoich · ベストアンサー

(4)で1/√3≦(x+1)/y≦√3という条件が出ていて---(A)
x+1>0,y>0なので
(1/√3)y≦x+1
y≦√3(x+1)---(1)
と
(x+1)/y≦√3
y≧(1/√3)×(x+1)---(2)
で円x^2+y^2=1との交点を求めればいいのではないでしょうか

(1)のy=√3(x+1)とx^2+y^2=1の交点は
x^2+{√3(x+1)}^2=1
4x^2+6x+2=0になって
2x^2+3x+1=0
(2x+1)(x+1)=0
x=-1/2(x>-1より)

同じように(2)を求めると
(2x-1)(x+1)=0になって
x=1/2(x>-1)

になるのでx=±(1/2)のところは
x^2+y^2=1に代入すると
(±1/2)^2+y^2=1
y^2=3/4
y=√3/2(y>0より)
になりますので添付されている図の通り
(A)の範囲での交点の軌跡のyの範囲は(√3/2≦y≦1)になるのではないでしょうか

お礼

せっかくこんなに丁寧に回答していただいたのに、
お礼が遅れてしまいもうしわけございません。

でも、おかげで理解できそうです。
ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

まぁ、計算から求めても良いが。。。。。ｗ

ax＋y＝a　→　y＝-a(x-1)　‥‥(1)　x-ay＝-1　→　y＝(1/a)*(x+1)　‥‥(2)
(1)は定点(1、0)を通る傾きが　-a　の直線。(2)は　a≠0から　定点(-1、0)を通る傾きが　1/aの直線。
１/√3≦a≦√3　だから、tanα＝60°　→　√3。tanβ＝1/a≦√3　を考えると。、計算するまでもないと思うが。