数学(2)軌跡

質問

aを任意の実数とするとき、２本の直線
ax + y = a ・・・(1)
x - ay = -1 ・・・(2)
の交点の描く図形を求めよ。

１、(1)(2)のそれぞれが常に通る定点を求める。
(1)は(x-1)a + y = 0より定点(1,0)を通る。
(2)は-ya + x + 1 = 0より定点(-1,0)を通る。
２、(1)⊥(2)であることを示す。
a=0のとき
(1)は直線y=0を、(2)は直線x=-1を表し、直交している。
a≠0のとき
(1)はy = -ax + a (2)はy = (1/a)x + 1/a より傾きの積(-a) * 1/a = -1だから直交している。
３、１・２より図形的に考えて交点は円周上にあると分かる。
よって交点は定点(1,0),(-1,0)を直径の両端とする円周上にある。
４、(1),(2)の直線には、それぞれaにどんな値を入れても表せないものが１本ずつあり、それらは直交しているので、上の円からこの交点を除く。
(1)は直線x=1を
(2)は直線y=0を
表すことができない。しかもこれらは直交しているので、それらの交点(1,0)は交点でない。よって、求める図形は
円x^2 + y^2 = 1 （ただし、点(1,0)を除く。）

★★★以下質問★★★
「(1)は直線x=1を(2)は直線y=0を表すことができない。」
とありますが、なぜ表すことができないのかが分かりません。

回答No.2

p-masa · ベストアンサー

ax+y=aという式はaがどのような値をとろうとも、yが消えることはありません。つまり、x=□という式で表される直線の式を表すことができません。(2)も同様です。

********************************　あまり関係ないかも…

中学のとき、直線の式はy=ax+bと習いますが、高校では直線の式はax+by+c=0と習います。これも同様の理由で、直線y=ax+bの形式では、a,bの値がどのように設定してもyは消えることなく、この形式ではx=□という直線を表すことができません。ax+by+c=0の形式ならば、a=0のときy=□,b=0のときx=□の形に変形でき、すべての直線の式を表すことができます。

お礼

***********以下も参考になりました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

ytsubo2004

(1)
a=-y/(x-1)となりますので、aが実数であることを考えると分母≠0より、x=1は表現できません。

(2)に関しても同様です。

お礼

実数の定義がよくわからないので調べてみました。

有理数・・・分数の形で表すことのできる数
無理数・・・循環しない無限小数
実　数・・・有理数と無理数全体

分母＝０は定義されてないようですが、分母が０に近づくと∞に近づくようですね。分母＝０は実数ではないと覚えておけばいいんでしょうか？