軌跡

質問

交点の軌跡の問題です。軌跡についての質問なのですが、「実数kが動くとき、２直線 y= - k(x+1) と ky=x - 1 の交点の軌跡を求め、それを図示せよ。」という問題なのですが、２式から、kを消去した式が求める答えだということはわかるのですが、なぜそれが、交点の軌跡になるのかいまいちよくわかりません。よろしくお願いします。

回答No.3

newtype · ベストアンサー

実数ｋが存在すれば、２直線ｙ＝－ｋ（ｘ＋１），ｋｙ＝ｘ－ 1より、交点（ａ，ｂ）が存在する。
⇔交点（ａ，ｂ）が存在するならば、逆にｂ＝－ｋ（ａ＋１）…（１），ｋｂ＝ａ－ 1…（２）を満たす実数ｋが存在する。
（１）＊ｂに（２）を代入して、
⇔ｂ^2＝－（ａ－ 1）（ａ＋１） （必要十分であることを注意しよう。⇒は代入。逆はａ－ 1＝ｋｂとすれば、成立）
よって、交点の軌跡は
ｙ^2＝－（ｘ－ 1）（ｘ＋１）＝－ｘ^2＋１

以上

お礼

ありがとうございます、お返事していただいて。
なるほど、交点を（ａ，ｂ）とおいて、交点から考えるのですね。その交点に、乗っている２つの直線の式をそれぞれ代入して、それを連立したら、確かに交点の軌跡になるというような実感ができて理解できました。ありがとうどざいます。

回答No.5

ranx

交点の軌跡というのは、二直線の共有点の集合ですから、その座標xとyは、必ず二つの式
y= - k(x+1) と ky=x - 1を満足します。
この場合、二つの式 y= - k(x+1) と ky=x - 1 は、三つの変数x,y,kの「関係」を示すことに
なります。各変数は、様々な値をとるけれども、どのような値をとったにしても、この二式の
「関係」は保たれるということです。
この二式からkを消去した式x^2+y^2=1は、その中で、xとyの「関係」だけを引き出したもの
です。x,y,kがどのような値をとっても、xとyの間にはこの「関係」が保たれるわけです。
つまり、交点の座標は必ずこの式で表される円の上にあります。

ところで、この円の上にある点は、必ず元の二式の交点として表されるでしょうか。答はＮｏ
です。(x,y)=(-1,0)の点は、この円の上にありますけれど、それが交点となるような二直線
y= - k(x+1) と ky=x - 1は存在しません。

ですから、求める答は
x^2+y^2=1 (x,y)は(-1,0)ではない
です。

お礼

お返事どうもありがとうございました。
もう一度、関係に注目して考えたいと思います。
私はx^2+y^2=1 だと思って、「(-1,0)ではないです。」
飛ばして利他のですが、きっちり、文字消去の時は注意を払いたいと思います。ありがとうございました。

回答No.4

noname#7269

こんにちは！
素直に交点の座標を求めると
Ｘ＝（－Ｋ＾２＋１）／（Ｋ＾２＋１）
Ｙ＝－２Ｋ／（Ｋ＾２＋１）
となります。Ｘ、Ｙを変数Ｋで表したわけです。
そして、２式からＫを消去してＸＹの関係式にするわけです。
この場合、単位円になるはずです。Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝１
なので、どこでＫを消去するかではないですか？
ただし、計算するときは気をつけて丁寧にしてくださいね！
例えば、ｋｙ＝ｘ－１　をｋで割るときなどは
ｋが０のときとそうでないときと場合分けしてくださいね。（miDumoさんみたいに）
この問題ではＸＹの分母が必ず正なので関係ないけど。

お礼

なるほど、パラメーターから考えても理解できました。できるだけ、いろんな考え方えを理解できるようにしたいです。どうもありがとうございました。

回答No.2

nikorin

実際に交点の座標を求めると、ｘ座標とｙ座標がそれぞれkの関数として求まりますよね。
交点がkの変化と共に動き回って軌跡となるわけですが、これは軌跡のパラメータ表示であるというわけです。
ですからkを消去すると軌跡を直接表す式になります。

お礼

お返事ありがとうございます。なるほど、求めた解答は、軌跡のパラメータ表示であるというわけですか。

回答No.1

miDumo

２直線 y= - k(x+1) と ky=x - 1　は　

y=-kx-k
y=1/kx-1/k
となるはず。

２直線ｋの値が変化することにより、傾き、Y切片も変化しますよね。
２直線の傾きはそれぞれ－ｋ、1/kと違う値と言うことだけでもその交点はｋの連続変化とともに移動し軌跡になる。。。

とおもう（笑
なにぶんクイズがてら文系が書いた答えだから(^^;
間違い承知でかきました（汁　添削して下さい・・・・

お礼

お返事ありがとうございます。

＞２直線の傾きはそれぞれ－ｋ、1/kと違う値と言うことだけでもその交点はｋの連続変化とともに移動し軌跡になる。。。

すいません、うーん、ごめんなさいよくわかりません。
理解力がなくてごめんなさい。kの値の変化によって、
解答の式の「x^2 + y^2 = 0 (-1,0)をのぞく」に
どのようなの変化を与えているのかなと思いました。
kが消えてるのに不思議だなと思いました。