点P(x+y、xy)の軌跡を求めよ。について

質問

チャートにも載っている（数IIB例題103）有名問題ですが、

実数x、yがx^2+y^2=1という関係を満たしながら動くとき点P(x+y、xy)の軌跡を求めよ。

というものですが、

解答
X=x+y, Y=xyとおく。
x^2+y^2≦1から、(x+y)^2-2xy≦1
よって、X^2-2Y≦1
ゆえに Y≦(X^2/2)-(1/2) ---(1)

までは分かるのですが、
ここで、

また、x,yは2次方程式t^2-(x+y)t+xy=0
すなわちt^2-Xt+Y=0 ---(2) の２つの実数解であるから、
(2)の判別式をDとすると
D=X^2-4Y≦0

と、全く関係ないｔや、2次方程式が出てくるのか分かりません。
「解説には、x,yは実数であるから、点(X,Y)の領域に制限がつく。
x,yを解とするtの2次方程式t^2-(x+y)t+xy=0すなわちt^2-Xt+Y=0において、
解x,yは実数であるから　判別式D=X^2-4Y≦0 」
とありますが、X,Yと置き換えから、x,yから来る制限は理解できますが、突然ｔの二次方程式が何故出現するのか分かりません・・・

どなたかよろしくお願い致します。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

本質ではないのだが
問題と解答が一致しないのだが
どっちがただしいんだい？

別に二次方程式じゃなくたっていい．
単に，x+yとxyが分かってるときに
xとyを求めるという「連立方程式」をとくには
解と係数の関係を逆手にとって二次方程式を解くという
定石があるから，それを利用してるだけ．
x,yが実数なんだからそれが解となる二次方程式
(t-x)(t-y)=0の判別式を考えるということ．

三角関数使ったって構いません．

お礼

申し訳ありません。
解答の方が間違えていました・・・

正しくは（全文）

問）実数x、yがx^2+y^2=1という関係を満たしながら動くとき点P(x+y、xy)の軌跡を求めよ。

解）
X=x+y, Y=xyとおく。
x^2+y^2≦1から、(x+y)^2-2xy≦1
よって、X^2-2Y≦1
ゆえに Y≧(X^2/2)-(1/2) ---(1)

また、x,yは2次方程式t^2-(x+y)t+xy=0
すなわちt^2-Xt+Y=0 ---(2) の２つの実数解であるから、
(2)の判別式をDとすると
D=X^2-4Y≧0
ゆえにY≦X^2/4 ----(3)

(1)、(3)から、(X^2/2)-(1/2)≦Y≦X^2/4
変数をx,yに置き換えて
(x^2/2)-(1/2)≦y≦x^2/4

です。
申し訳ありませんでした。不等式がちらほらと間違っていました。

＞別に二次方程式じゃなくたっていい
なるほど・・・そこが謎だったのです。
たとえば、y=tx+bではダメなのでしょうか・・・
急に、tの2次方程式t^2-(x+y)t+xyなどを出してきて平気なのでしょうか？

＞解と係数の関係を逆手にとって二次方程式を解くという
＞定石があるから，それを利用してるだけ
＞x,yが実数なんだからそれが解となる二次方程式
＞(t-x)(t-y)=0の判別式を考えるということ．

なるほど・・！何となく分かってきたような気がします。
少し、その定石について、調べてみます。

ありがとうございます。
皆さん、本当に頭がイイですね・・・

回答No.5

hugen

点(X,Y) が、問題の軌跡上の点であるためには
x+y=X -----(1)
xy=Y -----(2)
x^2+y^2=1 -----(3)
を満たす実数 x,y が存在することが必要であり、十分でもある。
つまり、上のx,y についての連立方程式が解をもつための
X,Yの条件を求めればよい。実際に解いてみる。
(1)より　　y=X-x
(2)に代入 x^2-Xx+Y=0
x=(1/2){X±√(X^2-4Y)}　　------------(4)
x が　実数となるためには　　　X^2-4Y≧0
y=X-x
y=(1/2){X-+√(X^2-4Y)}　---------------(5)
（ 以上を、x,y を解にもつ二次方程式を作って解くと解答のようになる。）
次に　(4)(5)の x,yが(3)を満たす必要がある。
そのためには、代入すれば良い.
x^2+y^2=1
(x+y)^2-2xy=1　　これに代入する。 (1)(2)が成り立つことに注意すると
X^2-2Y=1

お礼

お返事ありがとうございます。
私の頭では完全に理解することが出来ないのですが、
点(X,Y) が、問題の軌跡上の点である条件のようなものを、
求めたのですよね。じっくりと数式を何をしているのか理解していこうと思います。

ありがとうございまた

回答No.4

take_5

＞みたいな理解なのですね

まぁ、それで良いだろう。

＞失礼なことをして申し訳ありません。

君が間違っただけで、別に私に失礼があったわけじゃない。
誤らなくても結構。

＞take5さま、いつもありがとうございます。

君は、この間“極と極線”の質問をしていた人か。
それで、理解できたのか？　
簡単な問題ではないから時間がかかるかもしれないが、がんばってみたら良い。
それでもわからなければ、再度質問したら良い。

ついでに、余談だが。。。。。。笑

＞実数x、yがx^2+y^2=1という関係を満たしながら動くとき点P(x+y、xy)の軌跡を求めよ。

この手の問題は、私が高校生の頃にもあった。
と、言うより、このような問題の原型は、今から50年ほど前の東大の問題だったそうだ。
私も、当然君も、生まれていなかった頃の問題なんだが、今では常識のような問題だろうが、
当時としては斬新で難問だといわれたそうだ。
私が、高校生の頃愛読していた“大数”（東京出版）に書かれていた記憶がある。
入試問題なんて、繰り返しの連続で、大して進歩してないって事かな？

お礼

返事が遅くなってしまって申し訳ございません。
ハイ、ミスはこれから気を付けるようにしますね。

＞それで、理解できたのか？
それがまだなのです。時間があるときに、またゆっくり考えて見ます。　
＞大して進歩してないって事かな？
50年前ですか・・・
でも、私がやってる高校数学は哲学者の時代の数学らしいですし・・・
とてもヘンな感じがします。
大数は夏ごろにしようと思っているのです。
また質問するかもしれませんがよろしくお願い致します(>_<、

回答No.3

take_5

＞x,yから来る制限は理解できますが、突然ｔの二次方程式が何故出現するのか分かりません

簡単なことだよ。
x、yが共に“実数”であるための条件だから。
x、yが“虚数”だったら、どうする？

＞判別式D=X^2-4Y≦0

不等号の向きが反対じゃないか？

お礼

＞簡単なことだよ。
＞x、yが共に“実数”であるための条件だから。
＞x、yが“虚数”だったら、どうする？

ああああ・・なるほど
つまり、
x,yが実数である、その中で例えば、そのx,yを使って作る、xとyが解のtの2次方程式があったとする（←これが急にこの2次方程式を使うよろしいでしょうか・・？）
その2次方程式が実数の解を持たなくてはおかしい

みたいな理解なのですね

＞不等号の向きが反対じゃないか？
申し訳ないです・・・逆でした。
失礼なことをして申し訳ありません。

take5さま、いつもありがとうございます。
本当に助かります！

回答No.1

koko_u_

>X,Yと置き換えから、x,yから来る制限は理解できますが
>突然ｔの二次方程式が何故出現するのか分かりません・・・
その「制限」を具体的に求められるのであれば、解法は何でもよいです。
二次方程式の実数解の有無に帰着させるのが定番というだけの理由です。

お礼

お返事ありがとうございます。

>二次方程式の実数解の有無に帰着させるのが定番というだけの理由です。

なるほど・・・定番なのですね
平面上の、xとyの制限→二次方程式の実数解の有無

という流れに帰着させればいいのですね。