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高校数学 計算

高校数学 計算  ある軌跡の問題で、軌跡を求めたい点(X,Y)に対し、 Y≠0のもとで、 s=-(X/Y) かつ t=-(X^2+Y^2+Y/Y) をs,tの関係式 t^2+3t-s^2+1=0 …(1) に代入して軌跡を求める作業があります。 解答を見ると、最終的に X^2+Y^2-Y-1=0 となっているのですが、計算がうまくいきません。 4次式で煩雑になるので、X^2+Y^2=Aなどの置き換えも試みましたが、うまくいきません。 計算過程をご教授ください。

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  • spring135
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回答No.2

#1です。状況はわかりました。 s=-x/y (2) t=-(x^2+y^2+y)/y=-(x^2+y^2)-1 ゆえに t+1=-(x^2+y^2)/y  (3) t^2+3t-s^2+1=0 …(1) より t^2+3t+1=s^2 両辺に1を加えます。 t^2+3t+2=s^2+1 (t+1)(t+2)=s^2+1 (t+1)(t+1+1)=s^2+1 (2)、(3)を上式に代入すると [-(x^2+y^2)/y][(-(x^2+y^2)/y)+1]=(-x/y)^2+1 整理すると (x^2+y^2)(x^2+y^2-y)=x^2+y^2 x^2+y^2は0にならないことを言った後 x^2+y^2-y=1 QED

khabarovsk
質問者

お礼

ありがとうございます!#1のご回答へのお礼を書かせてもらった後、拝見したため、行き違いになってしまいすみません。1を加える操作をしてtをうまく関係式に入れこむ・・スマートなやり方を紹介していただきありがとうございました。解決はした後ですが、参考になりました。

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その他の回答 (1)

  • spring135
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回答No.1

>s=-(X/Y) かつ t=-(X^2+Y^2+Y/Y) tの分子分母が区別できません。 s,tとも間違っています。

khabarovsk
質問者

お礼

ごめんなさい、計算することができました。 t^2+3t-s^2+1=0 に代入したあと、両辺をY^2倍して、 (X^2+Y^2+Y)^2-3Y(X^2+Y^2+Y)-X^2+Y^2=0 ゆえに (X^2+Y^2+Y)^2-3Y(X^2+Y^2+Y)=X^2-Y^2 ゆえに (X^2+Y^2+Y)(X^2+Y^2-2Y)=X^2-Y^2 ここでX^2+Y^2=Aとおくと、 (A+Y)(A-2Y)=A-2Y^2 ゆえに A^2-YA-2Y^2=A-2Y^2 ∴A^2-YA=A …(*) A=X^2+Y^2>0 (∵Y≠0) より、(*)の両辺をAで割って、 A-Y=1 ∴A-Y-1=0 よってX^2+Y^2-Y-1=0 となりました。お騒がせしました。 tの表し方についてのご指摘ありがとうございます。今後質問するときなど気をつけます。

khabarovsk
質問者

補足

すみませんでした、 tは t=-(X^2+Y^2+Y)/Y です。 問題と、軌跡を求める部分までの解答を載せておくので、参考にしていただけるとありがたいです。 [問題] Oを原点とするxy平面上に、放物線C:y=x^2-1があり、C上の異なる2点P(p,p^2-1),Q(q,q^2-1)が、∠POQ=π/2を満たすように動く。 (1) p+q=s,pq=tとおくとき、s,tの満たす関係式を求めよ。 (2) Oを通り直線PQに垂直な直線と、直線PQの交点をRとする。Rの軌跡を求め、xy平面上に図示せよ。 [解答(一部略解)] (1) p,qは異なる2点だから s^2-4t>0 …ア 次に条件より ベクトルOPとベクトルOQの内積=0だから pq+(p^2-1)(q^2-1)=0 ∴t^2+3t-s^2+1=0 …イ ここでイのとき、 s^2-4t=t^2-t+1>0 となりアを満たすから、 「アかつイ」⇔イ すなわち求める関係式は、イ。

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