高校数学 計算

質問

高校数学 計算

　ある軌跡の問題で、軌跡を求めたい点(X,Y)に対し、
Y≠0のもとで、

s=-(X/Y)　かつ
t=-(X^2+Y^2+Y/Y)

をs,tの関係式

t^2+3t-s^2+1=0 …(1)

に代入して軌跡を求める作業があります。

解答を見ると、最終的に
X^2+Y^2-Y-1=0

となっているのですが、計算がうまくいきません。
4次式で煩雑になるので、X^2+Y^2=Aなどの置き換えも試みましたが、うまくいきません。

計算過程をご教授ください。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

＃1です。状況はわかりました。

s=-x/y (2)

t=-(x^2+y^2+y)/y=-(x^2+y^2)-1

ゆえに

t+1=-(x^2+y^2)/y　　(3)

t^2+3t-s^2+1=0 …(1)

より

t^2+3t+1=s^2

両辺に1を加えます。

t^2+3t+2=s^2+1

(t+1)(t+2)=s^2+1

(t+1)(t+1+1)=s^2+1

(2)、(3)を上式に代入すると

[-(x^2+y^2)/y][(-(x^2+y^2)/y)+1]=(-x/y)^2+1

整理すると

(x^2+y^2)(x^2+y^2-y)=x^2+y^2

x^2+y^2は0にならないことを言った後

x^2+y^2-y＝1

QED

お礼

ありがとうございます！#1のご回答へのお礼を書かせてもらった後、拝見したため、行き違いになってしまいすみません。1を加える操作をしてtをうまく関係式に入れこむ・・スマートなやり方を紹介していただきありがとうございました。解決はした後ですが、参考になりました。

回答No.1

spring135

>s=-(X/Y)　かつ
t=-(X^2+Y^2+Y/Y)

tの分子分母が区別できません。

s,tとも間違っています。

お礼

ごめんなさい、計算することができました。

t^2+3t-s^2+1=0
に代入したあと、両辺をY^2倍して、
(X^2+Y^2+Y)^2-3Y(X^2+Y^2+Y)-X^2+Y^2=0
ゆえに
(X^2+Y^2+Y)^2-3Y(X^2+Y^2+Y)=X^2-Y^2
ゆえに
(X^2+Y^2+Y)(X^2+Y^2-2Y)=X^2-Y^2
ここでX^2+Y^2=Aとおくと、
(A+Y)(A-2Y)=A-2Y^2
ゆえに
A^2-YA-2Y^2=A-2Y^2
∴A^2-YA=A …(*)
A=X^2+Y^2>0 (∵Y≠0)
より、(*)の両辺をAで割って、
A-Y=1 ∴A-Y-1=0
よってX^2+Y^2-Y-1=0

となりました。お騒がせしました。
tの表し方についてのご指摘ありがとうございます。今後質問するときなど気をつけます。

補足

すみませんでした、
tは
t=-(X^2+Y^2+Y)/Y
です。

問題と、軌跡を求める部分までの解答を載せておくので、参考にしていただけるとありがたいです。

[問題]
Oを原点とするxy平面上に、放物線C:y=x^2-1があり、C上の異なる2点P(p,p^2-1),Q(q,q^2-1)が、∠POQ=π/2を満たすように動く。

(1) p+q=s,pq=tとおくとき、s,tの満たす関係式を求めよ。

(2) Oを通り直線PQに垂直な直線と、直線PQの交点をRとする。Rの軌跡を求め、xy平面上に図示せよ。

[解答(一部略解)]
(1)
p,qは異なる2点だから
s^2-4t>0 …ア
次に条件より
ベクトルOPとベクトルOQの内積=0だから
pq+(p^2-1)(q^2-1)=0
∴t^2+3t-s^2+1=0 …イ
ここでイのとき、
s^2-4t=t^2-t+1>0
となりアを満たすから、
「アかつイ」⇔イ
すなわち求める関係式は、イ。