高校数学、軌跡

質問

ｘ＝２＾ｔ＋２＾－ｔ((1)）ｙ＝２＾ｔ－２＾－ｔ((2)）の軌跡を求めたい。
(1)を二乗すると、ｘ＾２＝２＾２ｔ＋２＋２＾－２ｔ（★）
(2)を二乗すると、ｙ＾２＝２＾２ｔー２＋２＾－２ｔ(☆）
(1)‐(2)より、ｘ＾２－ｙ＾２＝４
また、２＾ｔ＞０、２＾－ｔ＞０より、２＾ｔ＋２＾－ｔ≧２
よって、双曲線ｘ＾２－ｙ＾２＝４のｘ≧２の部分。
問題集の解答で、☆、★の部分で、２乗していて、同値性が崩れているのに、そのままなのですが、このような事をしてよいのでしょうか？
★については、ｘ＝２＾ｔ＋２＾－ｔならばｘ＾２＝２＾２ｔ＋２＋２＾－２ｔは成り立ちますが、ｘ＾２＝２＾２ｔ＋２＋２＾－２ｔならば、ｘ＝２＾ｔ＋２＾－ｔは成り立ちません。（ｘ＝ー（２＾ｔ＋２＾－ｔ）の可能性がある）
☆も同様で、ｙ＝２＾ｔ－２＾－ｔならば、ｙ＾２＝２＾２ｔー２＋２＾－２ｔは成り立ちますが、ｙ＾２＝２＾２ｔー２＋２＾－２ｔならば、ｙ＝２＾ｔ－２＾－ｔは成り立ちません。（ｙ＝ー（２＾ｔ－２＾－ｔ）の可能性がある）
（同値というものを私が履き違えていたらごめんなさい

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

>問題集の解答で、☆、★の部分で、２乗していて、同値性が崩れているのに、そのままなのですが、このような事をしてよいのでしょうか？
同値性は崩れます。なので２乗すれば必要条件になるので、解答では後から十分性を満たす条件を追加する必要があります（結果として必要十分条件すなわち同値性が満たされる）。
このような問題の解き方では、同値変形して行く解法と必要条件をまず求め、その後十分性を満たす条件を追加する解法とがあります。問題集の解答は後者の解法でしょう。解答はあくまで解答例で完全解とは限らないので、tjag さんの疑問が起きないような同値性が保たれていることが分かる解答の書き方をした方が良いかもしれないね。、

>★については、ｘ＝２＾ｔ＋２＾－ｔならばｘ＾２＝２＾２ｔ＋２＋２＾－２ｔは成り立ちますが、ｘ＾２＝２＾２ｔ＋２＋２＾－２ｔならば、ｘ＝２＾ｔ＋２＾－ｔは成り立ちません。（ｘ＝ー（２＾ｔ＋２＾－ｔ）の可能性がある）

解答のこの部分で
>また、２＾ｔ＞０、２＾－ｔ＞０より、２＾ｔ＋２＾－ｔ≧２
>よって、双曲線ｘ＾２－ｙ＾２＝４のｘ≧２の部分。
x＝2＾ｔ ＋2＾(-ｔ) ≧2 を確認して「ｘ＝ー（２＾ｔ＋２＾－ｔ）の可能性」を排除しているわけです。
tが実数の全範囲の値をとるとき、xの値域は　x≧2　…(※) となります。
この条件が付加されれば同値性が確保されるわけです。

>☆も同様で、ｙ＝２＾ｔ－２＾－ｔならば、ｙ＾２＝２＾２ｔー２＋２＾－２ｔは成り立ちますが、ｙ＾２＝２＾２ｔー２＋２＾－２ｔならば、ｙ＝２＾ｔ－２＾－ｔは成り立ちません。（ｙ＝ー（２＾ｔ－２＾－ｔ）の可能性がある）

tが実数の全範囲の値をとるとき、ｙの値域は　実数の全域(-∞<y<∞) となります。
また、x(-t)=x(t), y(-t)=-y(t)なのでyはx軸対称となるから、
x=2^ｔ +2^(-t), ｙ＝2^ｔ－2^(-t) の軌跡と
x=2^ｔ +2^(-t), ｙ＝-(2^ｔ－2^(-t)) の軌跡の
軌跡は一致します。
したがって、ｙ＝-(2^ｔ－2^(-t)) の可能性はあっても求める軌跡には影響しません。

以上から(※) の xの範囲条件x≧2を軌跡
　双曲線ｘ＾２－ｙ＾２＝４
に付けてやれば、正解の解答になります。
xの範囲条件は、ｘ＞0でも構いません。

お礼

納得しました。
頑張ります。
ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

要するに
a = b
ならば、必ず
a^2 = b^2
であるが、
逆は必ずしも真ならず。

お礼

納得しました。
頑張ります。
ありがとうございました

回答No.1

asuncion

2乗して同値性がくずれることはありません。

平方根の場合は、まずいかもしれません。これは、質問者さんが危惧されているとおりです。

お礼

納得しました。
頑張ります。
ありがとうございました