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関数・平行移動・軌跡 (高校数学1)

 こんにちは。高校数学1 関数に関する問題集中の問題の解答の解説に関連して質問します。 問題:  「放物線Y=X^2を点(1,2)を通るように並行移動した放物線全体を考える。  このような放物線の頂点Vの描く軌跡を求めよ。」 解答:    「放物線Y=X^2 …(1) を  X軸方向にp、Y軸方向にqだけ並行移動しものは、方程式    Y-q=(X-p)^2 …(2)  で表される。  放物線(2)が点(1,2)を通るための条件は    2-q=(1-p)^2  すなわち q=-(p-1)^2+2  が成り立つことである。  さて、放物線(2)の頂点Vの座標は    V(p、q)  であるから、p、qが条件(3)を満たして変化するときのV(p、q)の軌跡が求めるものである。  よって、Vの軌跡は    Y=-(X-1)^2+2 …(4)   で表される放物線である。」 質問→ (4)に関して、V(p、q)の軌跡     q=-(p-1)^2+2   をどういう理由で    Y=-(X-1)^2+2  に置き換えたのかがよく分かりません。分かる方がいらっしゃいましたら、もう少し詳しい解説をお願いします。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.2
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

>>「p, q は方程式をパラメータ化している」 > ↑どういうことでしょうか? p, q を一つ決めれば、方程式が一つ決まる。という意味。 > q=-(p-1)^2+2 ⇒ Y=-(X-1)^2+2 >  の理由が、いまひとつ明確に分かりません。 方程式とは何かをもう一度考えることだ。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 方程式の意味を調べてみたら 「方程式⇒式の中の文字に特別は値を代入すると成り立つ等式」 とありました。  また、「軌跡⇒ある条件を満たす点全体の集合」とありました。 この問題にあてはめて考えてみると 問題の1つめの題意(平行移動)よりpとqを仮定し、pとqとの関係を(3)によって   q=-(p-1)^2+2 と定義した。このpとqとの関係はつまり、2つめの条件により(p、q)は放物線の頂点を表すので、本問題におけるVの軌跡(方程式という関数)は    q=-(p-1)^2+2 を満たす関数であるということができる。 問題が求めているのは関数V(p、q)の軌跡[つまり変数pに対応するqとの関数]であるので、この関係は(3)によって、(p、-(p-1)^2+2)と対応する関数であることが示されている。  2変数の関数関係を示すことが解答なので、自作した変数p、qは、一般的な変数関係Xと、それに対応するYとの関係に置き換え、   Y=-(X-1)^2+2 とする。 こんなような説明になるのかな…という気がします。 ところで、問題で定義された(X、Y)と(p、q)とは独立して変位することが可能だと思いますが、単純に(p、q)を問題で定義された(X、Y)の関数に置き直してしまっても問題ないのでしょうか? 問題の   Y=X^2 と解答の   Y=-(X-1)^2+2  とは、別の関数関係なのでしょうね、きっと・・・  同じ変数を使ったので、逆に混乱しています。 変な質問ですいません。

質問者からの補足

下の「この回答へのお礼」を作っていて、新たな疑問が発生しました。 問題文の解説に関して追加質問いたします。 >「X軸方向にp、Y軸方向にqだけ並行移動しものは、方程式    Y-q=(X-p)^2 …(2)  で表される。」 (2)式には変数がX,Y、p、qと4つ出てきましたが、座標系はもともとX-Y座標の2次平面上のことと思われます。 平行移動の公式としては   Y-q=(X-p)^2 という形がありましたが、この場合(p、q)は定数というイメージがあったのですが…。XとYとの関数ということは分かるのですが、この問題のように(p、q)を変数として仮定すると(2)は変数が4つになります。  2次元のX-Y座標平面上にX,Yを含めそれ以外の変数を規定することに問題は発生しないのでしょうか?例えば、線なり面なりとしてX-Y平面に表示することは可能なのでしょうか?  混乱しています。解説していただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

>平行移動の公式としては >   Y-q=(X-p)^2 > という形がありましたが、この場合(p、q)は定数というイメージがあったのですが…。 そうですね。頂点(p, q)に応じて、X-Y 平面に放物線が一つ描かれると考えるのがイメージしやすいです。 しかし、もちろん四次元空間 {(X, Y, p, q) | X, Y, p, q は実数 } の「中の」方程式ともとらえることは可能です。 しかし若干イメージしにくいので、今回問題にある条件「点(1,2)を通る」場合に限定すれば、 次元がひとつ減って、 Y - (-(p-1)^2 + 2) = (X - p)^2 すなわち、Y が平面 {(X, p) | X, p は実数 } の「上の」関数 Y = (X - p)^2 + (-(p-1)^2 + 2) となります。 これなら頑張れば描けそうですね。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 >もちろん四次元空間 {(X, Y, p, q) | X, Y, p, q は実数 } の「中の」方程式ともとらえることは可能です。 ↑すいません。意味不明です。 >Y - (-(p-1)^2 + 2) = (X - p)^2 ↑変数がxとYとpの3つになったということで、ANo.1さんに提示していただいた「パラメーター」という言葉が気になって、調べてみました。  数IIIの参考書に、「放物線の頂点の軌跡と媒介変数表示」というタイトルで、本問の問題と同じく、に媒介変数tが含まれた形でのXの2次方程式(変数tもあるのでtについての2次方程式かも知れないが、問題はあくまでもtを媒介変数とみて、tの値を変えるときの、頂点の示す座標を質問していました。 この例題に本問題を当てはめると、pを媒介変数とします。   [Y - (-(p-1)^2 + 2) = (X - p)^2」  この放物線の頂点の座標を(X、Y)とすると   ・X=p   ・Y=-(p-1)^2  pを消去すると   Y=-(X-1)^2  なんとなく数学らしい解答になってきたと思います。  なお、例題では、元の関数(tの特定はできないためか、破線表示)も、媒介変数を消去した関数(頂点の曲線)も同じX-Y平面に、色を変えて表示してあったので、ともかく2次曲線として表されていました。ということは、媒介変数は、実は定数なのではないでしょうか?  よく考えると、数学1の放物線の問題で、よく、Y=X^2+aX+bなどと表示して、条件を与えてaの範囲を指定させる問題などがあると思いますが、その場合、aやbは定数としていますよね?そうでなければ、2次元の平面に放物線を表示するということが難しいように思いますが・・・ 回答をしていただいた皆様には感謝いたします。  

質問者からの補足

下の「この回答へのお礼」の一部を訂正をいたします。 訂正前:  数IIIの参考書に、「放物線の頂点の軌跡と媒介変数表示」というタイトルで、本問の問題と同じく、に媒介変数tが含まれた形でのXの2次方程式(変数tもあるのでtについての2次方程式かも知れないが、問題はあくまでもtを媒介変数とみて、tの値を変えるときの、頂点の示す座標を質問していました。 この例題に本問題を当てはめると、pを媒介変数とします。   [Y - (-(p-1)^2 + 2) = (X - p)^2」  この放物線の頂点の座標を(X、Y)とすると   ・X=p   ・Y=-(p-1)^2  pを消去すると   Y=-(X-1)^2 訂正後:  数IIIの参考書に、「放物線の頂点の軌跡と媒介変数表示」というタイトルで、本問の問題と同じく、問題中での与式に媒介変数tが含まれた形でXの2次方程式(変数tもあるのでtについての2次方程式かも知れませんが、問題はあくまでもtを媒介変数とみて、tの値を変えるとき)の、頂点の座標を問う質問でした。 この例題に本問題を当てはめると、pを媒介変数とします。   [Y - (-(p-1)^2 + 2) = (X - p)^2」  この放物線の頂点の座標を(X、Y)とすると   ・X=p   ・Y=-(p-1)^2+2  pを消去すると   Y=-(X-1)^2+2 誤字、脱字が多くてすいません。気をつけます。

  • 回答No.3

「放物線Y=X^2」という書き方は、言葉を大幅に端折ってあります。 必要ないほど丁寧に書いてみると、「式Y=X^2を満たす実数XとYの 組(X,Y)が、XY平面上で為す放物線」といった所でしょうか。 集合の記号を使って {(X,Y) | Y=X^2} と書いたりもしますが、 これを {(A,B) | B=A^2} と書いても同じものを表しています。 座標値を表す文字にXやYを使うのは、単なる慣習です。 質問にある「解答」では、 > すなわち q=-(p-1)^2+2 > が成り立つことである。 > さて、放物線(2)の頂点Vの座標は > V(p,q) までの部分で、 Vの軌跡が {(p,q) | q=-(p-1)^2+2} であることが求まっています。 この集合を {(s,t) | t=-(s-1)^2+2} と書いても、 {(u,v) | v=-(u-1)^2+2} とか {(a,z) | z=-(a-1)^2+2} と書いても、図形としては同じものですが、 平面の座標軸を「X軸」「Y軸」と置く慣習上、 {(X,Y) | Y=-(X-1)^2+2} と書くことが多いのです。 それを端折って、「Vの軌跡は Y=-(X-1)^2+2」と言います。 例えば、関数fの定義をf(x)=x^2+x+1とするときに、 f(g)=g^2+g+1などでも構わないのに、つい文字xを使ってしまう。 それと同じことをやっているだけです。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 >Vの軌跡が {(p,q) | q=-(p-1)^2+2} であることが求まっています。 >平面の座標軸を「X軸」「Y軸」と置く慣習上、 {(X,Y) | Y=-(X-1)^2+2} と書くことが多いのです。 ↑わかりました。ありがとうございます。 回答者さんには感謝いたします。

  • 回答No.1
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

>X軸方向にp、Y軸方向にqだけ並行移動しものは、方程式 >    Y-q=(X-p)^2 …(2) >  で表される。 ここで、p, q は方程式をパラメータ化していると同時に、 その方程式の頂点の座標が (p, q) となっていることに注目して下さい。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 >「p, q は方程式をパラメータ化している」  ↑どういうことでしょうか?  パラメーター表示というと   X=(pまたはqの関数で表示)   Y=(pまたはqの関数で表示)  というイメージがありますが・・・ >方程式の頂点の座標が (p, q) となっていることに注目して下さい    ↑平行移動した「 Y-q=(X-p)^2 …(2)」が、2次方程式の平方完成の形になっているので、これはこの2次方程式(2)の頂点の座標が (p, q) であるということはわかります。   q=-(p-1)^2+2 ⇒ Y=-(X-1)^2+2  の理由が、いまひとつ明確に分かりません。  詳しい解説をしていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

質問者からの補足

質問の訂正をいたします。 「条件(3)」とは「q=-(p-1)^2+2」のことです。 よって、    q=-(p-1)^2+2 …(3)

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