2次関数の平行移動。

質問

教科書数学1の記述です。

放物線y=2x2をFとする。Fをx軸方向に3,y軸方向に4だけ平行移動して得られる放物線をGとすると、Gの方程式が、
y=2(xー3)2+4 すなわち y－4=2(xー3)2
になることは、既に学んだ。

此れの記述の意味は分かります。

このことは、次のように考えてもわかる。

G上に任意の点P(x,y)をとり、上で述べた平行移動によってPに移されるF上の点を
Q(X,Y)とすると
x=X+3,y=Y+4
すなわちX=x－3,Y=yー4
点QはF上にあるから Y=2X2
この式のXにx－3を、Yにyー4を代入すると yー4=2(xー3)2
これは放物線Gの方程式である。

の、記述の意味がイマイチ何を言いたいのか良く分かりません。
多分、G上の任意の点P(x,y)の、任意、と言う言葉がヒントに成ってる様な気がします。
何か、キツネに騙された様な気がして、頭の中が、スッキリしません。
何方か、僕の頭の中をスッキリさせてくれる様な回答を宜しくお願い申し上げ致します！

回答No.2

ORUKA1951

＞y - 4 = 2(x - 3)²は、Fの方程式としか、考えられません。
　いいえ、Fはxとyの関係を表す式でしたね。
　一方 Y = G(X) はXとYの関係を表す式であり、同時に(x-3)と(y-4)の関係を表す式です。
Fはxとyの関係を表す式　y = F(x) = 2x²
　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
Gは(x-3)と(y-4)の関係を表す式、(y-4) = G((x-3) = 2(x-3)²
　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
ですから、違いますよ。
(y-4) = 2(x-3)²
を変形(両辺に -4の負数 4 を加える)して、
y + (-4) + 4 = 2(x-3)²+ 4
y = 2(x-3)² + 4
　= 2x² + (-12)x + 22

お礼

y=2X2－12x+22
が、平行移動した後の方程式で有る事は分かります。
が、何度、教科書を読んでも、貴方様の説明を読んでも、理解出来ません。
週明け、数学の先生に、ここの教科書の記述の説明を3時間程ききます。
有難う御座居ました。

回答No.1

ORUKA1951

数学に限らず、一つのアプローチで完全に理解できていない状態で、手を変え品を変えて他のアプローチをすると、益々こんがらがってしまいます。
＞此れの記述の意味は分かります。
　いいえ、意味は判っていても、理解はできていないです。
　別の説明もまったく同じ事を言っているのですが、別の説明でこんがらがるとということは、理解が十分ではないという事です。先に進む前にはじめの説明を理解することが大事です。
　・・じつはこの失敗、教師もよくするのです。「これで判らないなら、これだとどうだ。」と様々な説明を試みて生徒を絶望の縁に追い込む。(苦笑)

　どのような関数であっても、その関数の表すグラフを平行移動や拡大するということは、関数--数の関係を示す式---において次が成り立ちます。
　例として二次関数について説明すると、xの係数を1として
＞放物線　ｙ= x² をF(Functopn)とする。
＞Fをx軸方向に3,y軸方向に4だけ平行移動して
　　頂点を考えてみると、Fはx=0のとき頂点であるが、x=3（xの値から3引いた）の時に頂点になる。
　　その頂点のyの値（x=3のとき）は、Ｆの頂点の値に4加えたものになる。
＞得られる放物線をGとすると、Gの方程式が、
＞ y = (xー3)² + 4 すなわち y - 4 = (xー3)²

　ここまでを、完全に理解してください。
　ただ、この説明は本来の説明ではないと思います。なぜなら、
y = x²
y = (xー3)² + 4
の二つを比べたときに (+3,+4)移動したはずなのに、一方は+、他方は-になっている。なんとも気持ちが悪い・・・。
　そこで、もっとすっきりする説明として、次のように考えます。「任意の点」と言うときには、頂点でもＯＫなのですから、頭の中では頂点で考えればよい。

＞G上に任意の点P(x,y)をとり、上で述べた平行移動によってPに移されるF上の点をQ(X,Y)とすると
＞x=X+3,y=Y+4
　を図で書くと、
Gグラフ上の任意の点(x,y)は、(X+3,Y+4)の点のことであると言っているに過ぎない。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
本来は、xとyの関数 f(x) を、a倍して、x軸方向にb、y軸方向にc平行移動した関数 g(x) は
(y - c) = a・f(x - b)
と覚えるべきでしょうね。
　二次関数でしたら
(y - c) = a(x - b)²

お礼

御回答誠に有難う御座居ます。
貴方様の説明は良く分かりました。
大変有難く思います。

ただ、教科書の記述、
点Qの座標は、(X,Y)
点QはF上にあるから Y=2X2
X=xー3,Y=yー4
点Qはあくまでも、F上にあるから、
Y=X2に、X=xー3,Y=yー4を代入した、
yー4=２(xー3)2は、Fの方程式としか、考えられません。
僕の何処が数学的にオカシイのでしょうか？
もし宜しければ、もう一度御回答の程宜しくお願い申し上げ致します！