放物線の平行移動についてちょっとした思い込みをしてるみたいです。

質問

放物線の平行移動についてちょっとした思い込みをしてるみたいです。

『放物線y=2x^2をFとする。Fをx軸方向に3、y軸方向に4だけ平行移動して得られる放物線をGとする。

G上に任意の点P（x,y）をとり、上で述べた平行移動によってPに移されるF上の点をQ（X,Y）とすると
x=X+3、y=Y+4
すなわち
X=x-3、Y=y-4
点QはF上にあるから Y=2X^2
この式のXにx-3、Yにy-4を代入すると
y-4=2（x-3）^2
これはGの方程式である。』
と数Iの教科書に書いてあります。

ちょっと疑問があります。
Q（X,Y）のXはx-3、Yはy-4と表してあります。
つまりQ（x-3,y-4）です。
QはF上の点です。
しかしY=2X^2にQを代入したらGっていうのに疑問を感じます。

Gは
y-4=2（X-3）^2です。
しかしGは点Qを通ってません。
つまり、QはF上の点だから、Fの方程式になるんじゃないか?と思い込みをしてしまいます。
なんでですかね?

まあ、FはすべてのXとYについて成り立ちます。つまり、Fの放物線を表す式はXとYが含まれていて、xとyは含まれない。
Gはすべてのx、yについて成り立ちます。つまり、Gの放物線を表す式はxとyが含まれていて、XとYは含まれない。
故に、求められた式はxとyの関係式であるからGの方程式である。
という解釈は大丈夫ですかね?

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

x,y と X,Y の関係については、
質問文末尾の解釈でよいと思います。

あと一つ問題点があるのですが。

代入して X,Y を消去しただけでは、
G がその式の表す図形の一部であることしか
言えません。
その式の表す図形全体が G であることには、
別途説明が必要です。

お礼

回答ありがとうございます。
分かってきました。

回答No.4

alice_44

平行移動が、(x,y) と (X,Y) の一対一対応
であることを言えば、十分です。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

muturajcp

放物線F={(x,y)∈R×R|y=2x^2}
放物線G={(x,y)∈R×R|x=X+3,y=Y+4,(X,Y)∈F}
G'={(x,y)|y-4=2(x-3)^2}とする
(x,y)∈G とすると
→x=X+3,y=Y+4,(X,Y)∈F→(x-3,y-4)=(X,Y)∈F→y-4=2(x-3)^2
→(x,y)∈G'
→G⊂G'
(x,y)∈G'　とすると
→y-4=2(x-3)^2→(x-3,y-4)=(X,Y)∈F→x=X+3,y=Y+4,(X,Y)∈F
→(x,y)∈G
→G'⊂G
→G=G'

お礼

回答ありがとうございます。
なんか難しいですが(>_<)

回答No.1

nattocurry

> Gは
> y-4=2（X-3）^2です。

これは、xとXを書き間違えただけですよね？

> 求められた式はxとyの関係式であるからGの方程式である。
> という解釈は大丈夫ですかね?

Gの方程式である、という言葉を使うから混乱するのかもしれませんね。
Gの方程式で使われているxとyの関係式である、と考えると良いのかもしれませんね。
その関係式が、Gの方程式そのものなんですけど。

お礼

すみません。
xとXを書き間違えました。
回答ありがとうございます。