放物線の平行移動

質問

僕は今年高校に入った新入生です。分からないことがあるのでここに書かせていただきます。

数研出版の数学１には下記のようなことが書かれています。

＊ XXはXの平方ということです。
「放物線y=2xxをFとする。Fをx軸方向に3,y軸方向に4だけ平行移動して得られる放物線をGとすると、Gはy-4=2(x-3)(x-3)になる。
それは次のように考えても分かる。
G上に任意の点P(x,y)をとり上で述べた平行移動によって移されるF上の点をQ(X,Y)とすると
x=X+3 y=Y+3 すなわちX=x-3 Y=y-4
点QはF上にあるからY=2XX
この式のXにx-3をYにx-4を代入するとy-4=2(x-3)(x-3)
これはGの方程式である。」

まず前提としてFとGの方程式やグラフは異なることは明確です。
しかしFの方程式 Y=2XX　にX=x-3 Y=y-4を代入すると
y-4=2(x-3)(x-3)　つまりGの方程式になります。

このままではこの二つは同じ方程式ということで重なった放物線になってしまいます・・・。どこが間違っているのでしょうか。ご指摘をお願いします。

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

ｘ＾２ はｘの平方ということです。

Ｆ：Ｙ＝２（Ｘ＾２）　　　　　　　Ｆ上に任意の点Ｐ(Ｘ，Ｙ）
Ｇ：ｙ－４＝２【(ｘ－３)＾２】　Ｇ上に任意の点Ｑ(ｘ，ｙ)

Ｘ＝ｘ－３
Ｙ＝ｙ－４

Ｆの方程式 Ｙ＝２（Ｘ＾２）　で、
Ｘをｘ－３、Ｙをｘ－４に置き換えると、
ｙ－４＝２(ｘ－３)＾２
これはＧの方程式である。
ーーー
＞＞このままではこの二つは同じ方程式ということで重なった放物線になってしまいます。

＊幾つかの誤植を訂正しました。
＊文字も敢えて教科書とは異なる書き方をしました。
本来は上記の表記が判り易いのですが、＜ある理由により＞
教科書は、この表記が禁止されています。
＊言葉使いも敢えて表現を変えました。

　解決策ですが理屈を捏ねるのは止めます。
実利的方法を書きます。
○この記述を一度、貴殿の頭脳から消去してしまう。此れが最善と思います。

　次に若干貴殿の頭脳の中を覗いてみます。
＞＞どこが間違っているのでしょうか
とありますが本当は何か得体の知れない、
＜奇妙な感覚＞がある。
　この＜奇妙な感覚＞は、かなりの人に起きます。
私も貴殿と同じ事を考えました。
未だに、この＜感覚が起きます＞

　最後に、ひとつだけ、たとえ話を書いて終わります。
＜お母さんを、平行移動した。＞
・・・平行移動したって、お母さんはお母さんだ・・・
・・・平行移動たら、もう元の、おかあさんではない・・・
数学では、どちらが正しいか（理屈を捏ねてしまいました。）

お礼

御回答ありがとうございます。もやもやが少し晴れたような気がします。

補足

回答を拝見して自分なりに考えて、平行移動の原理をまとめてみましたが合っているでしょうか。
（xの平方を^2とする。）

グラフF;y=x^2 をx軸方向にa、y軸方向にb平行移動し、それをグラフGとする時
座標(a,b)を頂点にするにはグラフFにとっての頂点(0,0)がグラフGにとっての(a,b)でなくてはならない。
★★x=aのときaを0にするには(x-a)、y=bのときbを0にするには(y-b)★
つまりグラフGは y-b=(x-a)^2　ゆえに y=(x-a)^2+b

つまり教科書に書かれているxにx-3を代入というのは★の行の働きをしているということでいいのでしょうか？

回答No.4

kkkk2222

＃３です。

＞＞平行移動の原理・・・
貴殿の考えかたでＯＫです。
＃１
関数記号ｆはかなり理解しがたいようです。
ゆえに一般論は平行移動の学習が終了した段階で＜補足＞＜発展＞として記載されます。
＃２
多少難解になりますので＜感覚＞だけで読んでください。
＜関数の概念＞は
ＸをＢＬＡＣＫＢＯＸに入れてＹを得る。
Ｙ＝２Ｘとすると、
５→ＢＬＡＣＫＢＯＸ→１０
６→ＢＬＡＣＫＢＯＸ→１２
＃３
＜関数＞は＜変換＞＜操作＞＜写像＞とも言えます。
ゆえに＜関数＞は＜グラフ＞とは本来は無関係なのです。
Ｙ＝２Ｘは、ｙ＝２ｘ、Ｂ＝２Ａ、□＝２○としても＜操作＞としては同一です。最善の表記は□＝２○なのですが・・・
＃４
通常は、
ひとつの値→ＢＬＡＣＫＢＯＸ→新しいひとつの値
なのですが、
＜平行移動＞では、
ふたつの値→ＢＬＡＣＫＢＯＸ→新しいふたつの値
（Ｘ、Ｙ）→ＢＬＡＣＫＢＯＸ→（ｘ、ｙ）
この結果として、
ｙ＝ｘ＾２→ＢＬＡＣＫＢＯＸ→ ｙ－ｂ＝(ｘ－ａ)＾２
この＜ふたつの値＞に関する記述に、最初に出会うのが＜平行移動＞となります。
＃ＬＡＳＴ
＜操作＞をしたら、＜その意味を考えない＞
＜操作＞は形式とし、
＜操作＞の結果のみを見る。
ｙ＝ｘ＾２→＜操作＞→ ｙ－ｂ＝(ｘ－ａ)＾２
用語ＢＬＡＣＫＢＯＸが好まれる理由は、
ＢＬＡＣＫＢＯＸ＝黒い箱＝謎＝＜その意味を考えない＞
ＢＬＡＣＫＢＯＸを＜辞書検索＞して見て下さい。

頑張って下さい！

回答No.2

L-Lawliet

たぶん教科書違います。次のように書き直してください。
「放物線y=2xxをFとする。Fをx軸方向に3,y軸方向に4だけ平行移動して得られる放物線をGとすると、Gはy-4=2(x-3)(x-3)になる。
それは次のように考えても分かる。
F上に任意の点P(x,y)をとり、上で述べた平行移動によって移されるG上の点をQ(X,Y)とすると
X=x+3 Y=y+3 すなわちx=X-3 y=Y-4
点pはF上にあるからy=2xx
この式のxにX-2をyにY-4を代入するとY-4=2(X-3)(X-3)
YをyにXをxにするとこれはGの方程式である。」

お礼

ご回答ありがとうございます。少しずつ理解してきました。

回答No.1

yuu111

こんばんは

少し勘違いがあるようです。
しかし、どのように説得すればいいのか・・・

関数の文字というのは、「範囲中のすべての数」をあらわします。
今は変域はありませんから、すべての数を表します。
ですから、「Ｘ」も「ｘ」もすべての数を表す同じものです。
ですから、最後のほうの「しかしFの方程式 Y=2XX」は「ｙ＝２ｘｘ」とあらわしても同じことです。

う～ん
ごめんなさい、限界です＾＾；

お礼

ご回答ありがとうございます。少しずつ理解してきました。