条件付き最大値・最小値

質問

条件 {x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1=0 のもとで f(x,y)=x^2+y^2 の最大値、最小値とそれらを与える(x,y)を全て求めなさい。

という問題です。私はラグランジュの乗数法を使いました。
以下、私の解答です。

φ(x,y)={x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1=0 とおく。このとき、
∂φ/∂x={x^(-1/3)}/6=0 …(1)
∂φ/∂y=2{y^(-1/3)}/3=0 …(2)
とすると、(1)よりx=0、(2)よりy=0である。しかし、
φ(0,0)=-1≠0
である。よって、φ=∂φ/∂x=∂φ/∂y=0を満たす(x,y)は存在しない。

F(x,y,λ)=x^2+y^2-λ[{x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1] とおく。このとき、
∂F/∂x=2x-λ{x^(-1/3)}/6=0 …(3)
∂F/∂y=2y-λ2{y^(-1/3)}/3=0 …(4)
∂F/∂λ=-{x^(2/3)}/4-y^(2/3)+1=0 …(5)
(3)より、λ=12x^(4/3)
これを(4)に代入して、
y^(4/3)=4x^(4/3)
ここで、t=x^(2/3)、s=y^(2/3) とおく。(s,t≧0)　すると、
t=±2s
s,t≧0より、t=2s
また、
(5)⇔s+4t-4=0
これにt=2sを代入して、
s=4/9⇔x^(2/3)=4/9　∴x=±8/27
t=8/9⇔y^(2/3)=8/9 ∴y=±(16√2)/27

と、ここまで計算しましたが、この(x,y)をf(x,y)に代入しても、
f(x,y)=x^2+y^2
であるので、最小値も最大値も出ません。
どこかで計算ミスがあるのでしょうか、もしくは置き換えのまずいところがあったのでしょうか。
どなたかわかる方、よろしくお願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

再びお邪魔します。

一応、手元で計算してみました。
まず、ｘ^(2/3)　＝　ｚ　すると、ｘ≧０でｘはｚの増加関数。
よって、
ｄｆ／ｄｘ＝０　という条件は、　ｄｆ／ｄｚ　と同じ条件。

（ｆ（ｘ）＝）　ｘ^2　＋　（１　－　ｘ^(2/3)／４）^3
　＝　ｚ^3　＋　（１　－　ｚ／４）^3
　＝　ｚ^3　＋　１　－　３／４・ｚ　＋　３／１６・ｚ^2　＋　１／６４・ｚ^3
　＝　（６３ｚ^3　＋　１２ｚ^2　－　４８ｚ　＋　６４）／６４　

ｄｆ／ｄｚ　＝　（１８９ｚ^2　＋　２４ｚ　－　４８）／６４
　＝　３／６４・（６３ｚ^2　＋　８ｚ　－　１６）

よって、極大極小の条件である、ｄｆ／ｄｚ　＝　０　は、
ｚ　＝　１／（２・６３）・｛－８　±　√（６４　＋　４・６３・１６）｝
　＝　１／６３・（－４　±　３２）

ｚ＝２８／６３＝４／９　または　ｚ＝－３６／６３＝－４／７　
ｘ^(2/3)＝４／９　または　ｘ^(2/3)＝－４／７
と出ました。
ｘ^(2/3)＝４／９　のほうは、ｘ＝８／２７　ですね。

ｘ^(2/3)　≧　０　でしょうから、ｘ^(2/3)＝－４／７　は除外されます。

そして、前回書き落としましたが、
ｘ^(2/3)／４　＋　ｙ^(2/3)　－　１　＝　０
という式で、ｘ≧０、ｙ≧０　から条件（変域）が出てきますので、
それも考えないといけないと思います。
たぶん、変域の端っこで、ｆの最大値や最小値になる場合があると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます！
f(x,y)をxのみの関数(=g(x)=x^2+(1-{x^(2/3)}/4)^3にした後、微分し、増減表で極大、極小を確認しました。
x=0で極大値1、x=8/27で極小値(=最小値)64/81でした。
しかし、最大値を求めるときに、lim[x→∞]g(x)が
必要ですよね？
悪いことに、上の極限が求められません…。

回答No.6

rnakamra

#2のものです。
x=(2cosθ)^3,y=(sinθ)^3 (0≦θ≦2π)
の置き方にどのように気づいたかというと、

{x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1=0の条件式から^(1/3)を除去するために次のように置換します。
x=s^3,y=t^3
これを条件式に代入すると
(s^2)/4+t^2=1
これは楕円の式です。
この場合の媒介変数表示として
s=2cosθ,t=sinθ
が使われます。これをx,yの式に代入すると得られます。

あと#3の補足について
>しかし、最大値を求めるときに、lim[x→∞]g(x)が
>必要ですよね？
条件式{x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1=0を変形する。
{x^(2/3)}/4=1-y^(2/3)
x^(2/3)≧0,y^(2/3)≧0ですから
0≦{x^(2/3)}/4=1-y^(2/3)≦1-0=1
0≦{x^(2/3)}≦4
-2≦{x^(1/3)}≦2 (0≦x^2≦a^2の時、-|a|≦x≦|a|)
-8≦x≦8
となります。この範囲だけを考えればよい。

実際にはf(±x,±y)=f(x,y)(複号任意)であるので0≦x≦8の範囲だけを考えれば良い。

回答No.5

arrysthmia

どこにミスがあるかと言うと、
(1) (2) が x=0 や y=0 では成立しない
(微分可能でない)ことを考慮しなかったこと。
よってラグランジュ法は
x≠0 かつ y≠0 の範囲でしか適用できない。

質問文中の計算は、たぶん
x^2 + y^2 の極小値を正しく求めている
のだろうが(山勘)、
境界値として lim[x→0] と lim[y→0] を
考察する必要があった。

回答No.4

mister_moonlight

計算は面倒そうだが、高校数学のlevel。面倒な計算は苦手だから、方針だけ。

（3）√x＝α、（3）√y＝β　とすると、（α＾2/4）＋β＾2＝1の時、α＾6＋β＾6　の最大値・最小値を求める問題。

ちよつと、次数が大きいから、小さくしてやろう。

α＾2＝a、β＾2＝bとすると、a＋4b＝4 （a≧0、b≧0）の時、a＾3＋b＾3の最大値・最小値を求めると良い。
aを消去して、bの3次関数にして、微分。　但し、1≧b≧0　の範囲で。

回答No.2

rnakamra

別の出し方を説明します。
{x^(2/3)}/4+y^(2/3)-1=0 を媒介変数θを用いて表すと、
x=(2cosθ)^3,y=(sinθ)^3 (0≦θ≦2π)
となります。

これをf(x,y)=x^2+y^2に代入、θで微分して増減表を書く。

お礼

ご回答ありがとうございます！
この置き方は
どのような法則にしたがっているのでしょうか？

回答No.1

sanori

こんばんは。

ｘ^(2/3)／４　＋　ｙ^(2/3)　－　１　＝　０
という条件があるので、ｆは、もはや、変数が１個の関数です。

ｙ^(2/3)　＝　１　－　ｘ^(2/3)／４
ｙ　＝　（１　－　ｘ^(2/3)／４）^(3/2)
これをｆの式に代入して、

ｆ（ｘ）　＝　ｘ^2　＋　ｙ^2　＝　ｘ^2　＋　（１　－　ｘ^(2/3)／４）^3

ｄｆ／ｄｘ　＝　０
で極大極小の場所を求め、そのときの　ｄ^2ｆ／ｄｘ^2　の符号を調べれば、
答えは出ます。

ご参考になりましたら幸いです。

お礼

回答番号：No.3で、極限云々言いましたが、確かに条件から、
x≦8でした。すみません。