絶対最大値と絶対最小値って何ですか?

質問

[問]Let S be the closed square region:
S={(x,y):0≦x≦2 and 0≦y≦2}
Determine the absolute minimum and maximum values on S of the function:
f(x,y)=x^2+4xy-y^2-5x
という問題を解いています。

このabosolute minimun,absolute maxmumって何なのでしょうか(本には説明が無いのです)?
多分abosolute minimun,absolute maxmumってS内での最小値・最大値の事と推測します。
(勘違いしてたらご指摘ください)

[解]
fx=0
fy=0
でx=1/2,y=1だから停留点は(1/2,1)。
これを
ヘッセ行列式Δ(x,y)に代入すると
Δ(1/2,1)=-4-16=-20<0だから(1/2,1)は鞍点。
つまり、S内部には極値が無いので、最大・最小値はあるとすればSの境界部分だと推測できます。
よって、境界部分ではf(x,y)は
f(x,0)=x^2-5x=(x-5/2)^2-25/4 頂点は(5/2,-25/4)これはS外
f(x,2)=x^2+3x-4=(x+3/2)^2-25/4 下に凸頂点は(-3/2,-25/4)
f(0,y)=-y^2 上に凸頂点は(0,0)
f(2,y)=-y^2+8y-6=-(y-4)^2+10 頂点は(4,10)これはS外
そして、角っこ部分では
f(0,0)=0
f(0,2)=-4
f(2,0)=-6
f(2,2)=6

よって最大値は6,最小値は-25/4
と推測したのですが答えは最小値・最大値それぞれ-6(点(2,0))と6(点(2,2))になっています。
何処を間違っているのでしょうか?

回答No.2

take008 · ベストアンサー

> f(x,2)=x^2+3x-4=(x+3/2)^2-25/4 下に凸頂点は(-3/2,-25/4)
これは範囲外ですね。

英語では，極大値も最大値も maximum と言います。
特に区別したい時は，それぞれ relative maximum（または local maximum），absolute maximum と言います。

お礼

大変有難うございました。
お蔭様で参考になりました。

回答No.1

take_5

単なる2変数の最大値と最小値を求める問題でしょう。

f(x,y)=x^2+4xy-y^2-5xよりg(y)＝-(y-2x)＾2＋5x＾2-5x。
まずxを固定して(定数と見て)、yを動かしてみます。
そうすると、yの2次関数ですから、最大値をＭ、最小値をＮとすると軸の位置によって最大値と最小値が変わります。
0≦y≦2という条件から、
(1)2≦2x≦4のとき　Ｍ＝g(2)、Ｎ＝g(2)。
(2)1≦2x≦2のとき　Ｍ＝g(2x)、Ｎ＝g(0)。
(3)0≦2x≦1のとき　Ｍ＝g(2x)、Ｎ＝g(2)。

次に、x-Ｍ、x-Ｎの各々のグラフを0≦x≦2で書いてみると、回答の通り‥‥-6≦f(x,y)≦6になります。

お礼

納得です。どうもお騒がせ致しました。

あと、
abosolute minimun,absolute maxmum
は日本語ではなんと言うのでしょうか?