座標平面上の正六角形

質問

次の問題について質問があります．

xy平面上に正六角形ABCDEFがあり，点Aを原点(0, 0)に固定する．正六角形の形を保ちながら，直線 x+y=1 上を点Bが動く．
(1) 点Cの軌跡が直線になることを示し，その直線と x+y=1 の交点Pの座標を求めよ．
(2) 点D, E, Fはすべて(1)の点Pを通過することを示せ．

この問題の(1)は解けました．私の解き方は，次のようになっています．

【1】B(t, 1-t)とおく．ただし，tは実数とする．
【2】C(X, Y)をtを用いて表すことを考える．Bを中心にAを120°回転させた先がCであるので，
X=(3-√3)t/2 + √3/2
Y=-(3+√3)t/2 + 3/2
となる（計算略）．
【3】X, Yからtを消去すると，
Y=-(2+√3)X+3+√3
よって，点Cの軌跡は直線y=-(2+√3)x+3+√3 …（答）
この直線とx+y=1の交点Pは，P((1+√3)/2, (1-√3)/2) …（答）

さて，今回質問したいのは(2)でして，上記のように強引にD, E, Fの軌跡を求めて交点を計算してもできそうですが，より簡単に求める方法はありませんか？
正六角形の対称性を利用できないかな，とも思ったのですが，その後が続きませんでした...

どなたか分かる方，よろしくお願い致します．

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#2です。

(2)の方ですが、AB→と BC→は「1次独立」ですから、
AD→、AE→、AF→も AB→と BC→で表すことができるはずですね。

このときに、「正六角形の対称性」を利用することができます。
あとは、x座標、y座標を与える tの値が与えられることを示せばよいです。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

すみません。点の表記を間違えていました。
あと、「ベクトルのなす角」を用いるよりも、
回転による1次変換を用いる方がもっとシンプルです。

AB→とBC→のなす角は回転角度として用います。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
特に範囲に縛りがないのであれば、ベクトルを用いる方法も。

(1)であれば、OA→とAB→のなす角は○○度であることが言えます。
当然、|OA→|＝ |AB→|です。

(2)は、(1)のなす角を応用していくことになるかと。
一度、媒介変数でもって点の軌跡を表し、それが定点を通ることを示す。
こんな感じだと思います。