座標平面上に１辺の長さが２の正三角形ABCがある。

質問

以下の問題の（２）の解説で２つ疑問があります。

１）解いた時に、△A'B'C'が重心（原点）を中心に動くことに気付きませんでした。気付く方は、どうして or どのような考察をして気付くのでしょうか？

２）△ABCと△A'B'C'が重ならない部分
（例えば、線分ABと線分A'C'の交点をD,線分ABと線分C'B'の交点をEとした場合、△C'DE）が直角3角形になることに、どのようにして気付くのでしょうか？

問題）座標平面上に１辺の長さが２の正三角形ABCがある。
ただし、△ABCの重心は原点の位置にあり、辺BCはx軸と平行である。
また、頂点Aはy軸上にあってy座標は正であり、頂点Cのx座標は正である。
直線ｙ＝ｘに関して３点A,B,Cと対称な点を、それぞれA',B',C'とする。

（１）C'の座標を求めよ。
（２）△ABCと△PQRが重なる部分の面積を求めよ。

解答）△ABCと△A'B'C'は、合同な３角形であり、△ABCを原点の周りに30度回転すると△C'B'A'と一致する。ゆえに、△ABCと△A'B'C'が重なる部分から，はみ出した６個の直角３角形は、すべて合同である。（以下省略）

回答No.4

spring135

質問者の質問は最もです。

＞解答）△ABCと△A'B'C'は、合同な３角形であり、△ABCを原点の周りに30度回転すると△C'B'A'と一致する。ゆえに、△ABCと△A'B'C'が重なる部分から，はみ出した６個の直角３角形は、すべて合同である。

もしこのような解答を書いた受験生がいたらどのていどに評価されるのか疑問です。私が採点者なら0点にします。

条件は

＞直線ｙ＝ｘに関して３点A,B,Cと対称な点を、それぞれA',B',C'とする。

ということですからA,B,Cの座標を出して、y=xに対称移動するのが正解です。

A(0,2√3/3）
B（-1,-√3/3)
C(1,-√3/3)

なので

A’(2√3/3,0）
B’（-√3/3,-1)
C’(-√3/3,1)

が出発点です。

お礼

お礼が大変遅れてしまい、申し訳ございません。

模範解答への評価、ご意見、
また「A,B,Cの座標を出して、y=xに対称移動する」という御指摘、

「やはりそうか！」と思い、腑に落ちるものでした。

貴重な回答を下さり、どうもありがとうございました。

回答No.3

ryu37954069

対象移動と回転移動の関係について学ぶのはまだ先の話で、それゆえに理解を超える部分があるかと思います。
なので、あえてその本質的な部分は、”存在する”ということだけで、おいておき、
直感的に理解する方法だけをここでは述べます。

△ABCとそのy軸鏡面対象な△ACBが合同なのは、当たり前ですよね。
BとCを変えただけで同じ三角形ですから。
ここで、Aはy軸に、A’はx軸にのっています。
ではy軸とx軸を重ねてみてください。

と言ったら、どうしますか。

多分、x軸ないしはy軸回転させて重ねたのではないでしょうか？

そして、そうすることで、△ACBと△A’B’C’が回転によって重なるのでは？という予想がつきます。

ちなみに、さきほど言った、

y軸とx軸を重ねてみてください。

に対して、
y=xという直線に重ねたと考えると、y軸とx軸が、y=xを鏡面とする、鏡面対象になることが直感的に理解できるでしょう。

これらが、実質同じことだということも上記の操作で直感的に理解できたのではないかと思います。

まとまりがなくて申し訳ない。

お礼

詳しい解説、どうもありがとうございました。「鏡面対称」という認識を大事にしたいと思います。

回答No.2

gohtraw

重心の位置が変わっていなくて、各頂点から重心までの距離も
変わっていないので回転運動とみなしてよいということだと
思います。

ｙ＝ｘに関する対称移動だから回転というのではなく、あくまで
上記の条件が満たされる場合でしょう。例えば△ＡＢＣの重心
の位置がｙ＝ｘ上になかったら、回転運動にはならないような
気がします。

お礼

わかりやすい解説どうもありがとうございます。重心からの距離が不変なこと、回転運動にならない場合のご指摘、ありがとうございます。

回答No.1

gohtraw

（１）多分に感覚的な部分はあると思いますが、きちんとやるならば
Ａ，Ｂ，Ｃの座標をそれぞれ（ｐ、ｑ）、（ｒ、ｓ）、（ｔ，ｕ）とすると、
Ａ’，Ｂ’，Ｃ’の座標はそれぞれ（ｑ、ｐ）、（ｓ、ｒ）、（ｕ，ｔ）
となります。これより二つの正三角形の重心の座標は
△ＡＢＣ：（（ｐ＋ｒ＋ｔ）／３、（ｑ＋ｓ＋ｕ）／３）
△Ａ’Ｂ’Ｃ’：（（ｑ＋ｓ＋ｕ）／３、（ｐ＋ｒ＋ｔ）／３）
△ＡＢＣの重心は（０，０）なので、△Ａ’Ｂ'C’の重心も（０，０）に
なります。

（２）ＡＣとＡ’Ｃ’のなす角は３０°、∠Ａは６０°なので、ＡＢとＡ’Ｃ’のなす
角は９０°です。

お礼

詳しい解説、直角三角形になる理由もわかり、また、再度の回答、どうもありが
とうございました。

補足

回答どうもありがとうございます。確かに、移動した3点の重心をとれば、もとの重心の原点と一致します。この時に、私は「たまたま重心が一致しただけだ」と思っただけでした。「３点A,B,Cを直線ｙ＝ｘに関して対称移動した３点A'B'Cが重心を変えずに円運動をした」とわかるのは、何故なのでしょう？
「y=xに関する対称移動」に、「ある点を中心として円運動を引き起こす」というような性質があるのでしょうか？