数IA平面図形で解けない問題があり困っています。

質問

数IA平面図形で解けない問題があり困っています。
図形と式の種々の問題からなのですが、

問.xy平面上に、y=1/4x^2+xで表される曲線Cと
y=x+4で表される直線Lがある。
CとLとの交点P,Qの座標を求めよ。
また、C上の点RがPからQまで動くとする。
三角形PQRの面積が最大になるときの点Rの座標を求めよ。

という問題なのですが、とりあえず途中まで解きまして、

y=1/4x^2+xとy=x+4の交点は、
1/4x^2+x=x+4より、
1/4x^2-4=0
1/4(x+4)(x-4)　したがってx=±4
それぞれy=x+4に代入して、答えは(4,8)(-4,0)
↑
ここまでは正解でした。

次に、△PQRが最大になるのは、LとRの距離が最大となるときなので、
R=( t, 1/4t^2+t)とおくと、条件より-4≦t≦4で
このとき、LとRの距離は、（点と直線間の公式よりL= y-x-4=0として、）

｜t-(1-4t^2+t)-4｜/√1+1
=｜-1/4t^2-4｜/√2
=｜-(1/4t^2+4)｜/√2
=1/4t^2+4/√2
=√2/8t^2+2√2この式が最大値をとるときなので、これを平方して、
√2/8(t^2+1/16)

・・・とこのあたりまで解いたのですが、模範解答を見たところ
答えは(0,0)となっていました。
上の式を解いても(0,0)にはならず、絶対値の外し方がおかしいのかなと
試行錯誤してみましたが上手くいかず途方にくれています・・

どうかお知恵をお貸し下さい。

回答No.3

someday555 · ベストアンサー

後半ですが、LとRの距離を
｜t-(1-4t^2+t)-4｜/√1+1
としていますが、その直前に書いている（点と直線間の公式よりL= y-x-4=0として、）
を使えば正しくは
｜(1/4t^2+t)-t-4｜/√1+1
になります。
以下、
｜(1/4t^2+t)-t-4｜/√1+1
=｜1/4t^2+t-t-4｜/√2
=｜1/4t^2-4｜/√2
となって、-4≦t≦4では絶対値の中身の1/4t^2-4はマイナスになりますから
絶対値を外す時にマイナスをつけて
=-(1/4t^2-4)/√2
=-√2/8t^2+2√2
となり、-4≦t≦4の時この値はt=0で最大値2√2になります。

お礼

なるほど・・・
根本から間違っていたんですね。
分かりやすく解説して頂いて本当にありがとうございます。
しっかりと反復して理解したいと思います。

回答No.2

OKXavier

>｜t-(1-4t^2+t)-4｜/√1+1
>=｜-(1/4)t^2+4｜/√2
>=｜-(1/4)t^2+4)｜/√2
>=1/4t^2+4/√2

絶対値の中でミスッています。
｜t-((1/4)t^2+t)+4｜/√1+1
=｜-1/4t^2+4｜/√2
=｜16-t^2｜/(4√2)

で、t=0 のとき、最大となる。

お礼

あっ申し訳ありません・・誤植です（汗）
御回答一行目の引用にあたります、
>｜t-(1-4t^2+t)-4｜　ではなく
>｜t-(1/4t^2+t)-4｜ でした・・
ですが掛けて整数にすれば計算しやすくなるのですね！
ありがとうございました。

回答No.1

soan-do

すごい！　今の中学生ってこんな難しい勉強をしてるの？
僕たちのころは割り算、引き算ぐらいで三角形の面積とか四角形の面積なんてとても難しくて解けなかったよ。

お礼

中学生にも及ばぬ理解力で本当に忸怩たる思いです・・
ご鞭撻真摯に受け止め精励したいと思います。
ありがとうございました。