四訂版シニア数学演習IIIA B 解答

質問

１９３
ＸＹ平面上に、Ｙ＝１/４Xの二乗＋X　であらわせる曲線Cと　Y＝X＋４　で表される直線lがある。Cとlとの交点P、Qの座標を求めよ。また、C上の点RがPからQまで動くとする。三角形PQRの面積が最大になるときの点Rの座標を求めよ

わかるかた解答教えてください！

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

まぁ、＃1のように馬鹿正直にやってもいいんだが、少しは頭を使おう。

曲線と直線の方程式を連立すると、P(4、8)、Q(-4、0)と分かる。
つまり、ＰＱが△PQRの底辺になる。ＰＱの長さは一定値だが、求めるものが点Rの座標だから、これを求める必要はない。
従って、後は、三角形の高さが最大になれば三角形の面積は最大になる。
それは、点Rを通る直線が　直線ＰＱに平行になる時だから、点Rを通る直線が　この曲線の接線であると良い。
従って、接線の傾きが　直線ＰＱの傾き(＝1)と一致する時。
y´＝(x＋2)/2　だから　点R(α、β)　4β＝α＾2＋4α　とすると、(α＋2)/2＝1
α＝0だからβ＝0.つまり、　最大になるのは　点Rが原点(0、0)の時。

従って、計算なんか全く不要になる。
と、言うより　求めるものは点Rの座標であり　最大値そのものを求めていないのだから　出題者は上で示した解法を求めているように思う。
この方法は　入試では比較的頻出だから　憶えておいた方が良い。

お礼

ありがとうございます
この解法覚えておきます

回答No.3

yyssaa

Cとlとの交点P、Qの座標を求めよ。について

Y＝(1/4)X^2＋X・・・(1)
Y＝X+4・・・(2)とします。
交点は(1)と(2)が等しくなる点ですから(1/4)X^2＋X=X＋４として
(1/4)X^2=4 X^2=16 X=±4
このXを(2)式に代入してY=8および0　
よって交点(P,Q)は(4,8)と(-4,0)になります。

C上の点RがPからQまで動くとする。三角形PQRの面積が最大になるときの
点Rの座標を求めよ。について

点Rの座標を(XR,YR)とします。点RはC上にあるので、
YR＝(1/4)XR^2＋XR・・・(3)(ただし-4≦XR≦4)が成り立ちます。
次に三角形PQRの面積をSとするとS=(線分PQの長さ)×(点Rから直線lに
下ろした垂線の長さ)×1/2になります。この垂線の長さをLとして、
Lを計算します。
点Rを通り直線lと垂直に交わる直線をY=AX+B・・・(4)とすると、直線lの
傾斜((2)式のXの係数)が1ですから
直線Y=AX+Bの傾斜すなわちAは-1になり、(4)式はY=ーX+B・・・(4)'
となります。
ところで点R(XR,YR)は直線Y=ーX+B上の点ですからYR＝ーXR+B
すなわちB＝XR+YRとなり(4)'式はY=ーX+XR+YR・・・(4)''になります。
次にこの直線Y=ーX+XR+YR・・・(4)''と直線lとの交点を求めます。交点では
(2)と(4)''が等しくなりますから、X+4=ーX+XR+YR　X=(XR+YR-4)/2
これを(2)式に代入してY=(XR+YR+4)/2。
つまり２直線の交点の座標はX=(XR+YR-4)/2 ,Y=(XR+YR+4)/2となります。
垂線の長さLは、この交点と点R(XR,YR)との距離ですから、LをXRとYRで
表すことが出来ます。
ところで三角形PQRの面積Sが最大になるときとは、線分PQの長さが一定
ですからこのLが最大になるとき、とイコールです。
またそれはL＞0からLの二乗(L^2)が最大になるときとイコールです。
三平方の定理を用いてL^2=｛XR-(XR+YR-4)/2｝^2+｛YR-(XR+YR+4)/2｝^2
=(XR-YR+4)^2/2 これを最大にするには(XR-YR+4)^2を最大にすればよく
(3)式よりXR-YR=-(1/4)XR^2　これを上の式に代入して
(XR-YR+4)^2=｛-(1/4)XR^2+4｝^2
したがって-(1/4)XR^2+4の絶対値が最大になるようにXRを選びます。
(3)式のただし書きの通り-4≦XR≦4ですから0≦XR^2≦16
0≧-(1/4)XR^2≧-4各辺に4を加えて4≧-(1/4)XR^2+4≧0となり
-(1/4)XR^2+4の絶対値(=-(1/4)XR^2+4)はXR=0で最大値4になります。
XR=0を(3)に代入してYR=0
すなわち三角形PQRの面積が最大になるときの点Rの座標は原点(0,0)
ということになります。

お礼

詳しくありがとうございました

回答No.1

gohtraw

x^2/4+x=x+4
とおくとｘの二次方程式なので、これを解けば交点の座標が出ます。

点Ｒの座標を（ｐ、ｐ＾２／４＋ｐ）とおき、直線ｌとの距離を求めます。点と直線の距離の公式を使うと、距離がｐの式で表されるので、その最大値を求めればＯＫです。但し、ＲはＰとＱの間にないといけないという範囲の限定があることをお忘れなく。

お礼

回答ありがとうございます