2次曲線が分かりません

質問

xy平面上の放物線C：ｙ＝ー１/２ｘ＾２（ー２分の１Xの２乗）を考える

（１）点P（a,b)がCの異なる２本の接線の交点となるための条件は
a^2＋２ｂ＞０ であることを示せ

（２）点P（０、ｂ）（ｂ＞０）を通るCの異なる２本の接線の接点をそれぞれQ,Rとし、
∠QPR＝θとおく（０＜θ＜π） このときcosθをｂを用いて表せ

（３）次の条件を満たす点Pの軌跡をｘｙ平面上に図示せよ
条件・点Pを通るCの異なる２本の接線が存在し、それぞれの接点をQ,Rとおくとき
∠QPR＝π/４である

補足 (3)はタンジェントの加法定理を使うみたいです

回答No.4

mister_moonlight

＞これはどこから出てきたのですか？

今、初めて君の質問を見た。
今から用事で出かけるので、今日は書き込めない。
悪いが、ちょっと待ってくれ（返答は、明日以降になる）。
解答の　2b＞1　は他の解法で確かめてあるから正しい、他の方法とは余弦定理だが。
方程式の解の配置の問題に帰着する、簡単ではないけどね。。。。。ｗ

回答No.3

noname#108210

昨日同じ質問がでていましたが，別の人なんですね。
回答もほぼ同じですが，#1さんとは異なる切り口で。

接線の方程式は　y+(1/2)t^2=-t(x-t)
整理して　y=-tx+(1/2)t^2
点(a,b)を通るので，b=-at+(1/2)t^2
整理して，t^2-2at-2b=0‥‥（１）
これが異なる２つの実数解をもつことから求まります。

（２）
上の式（１）が解t,s をもつとして
２つのベクトル(1,-t),(1,-s)からcosθが求まります。
このとき，解と係数の関係，t+s=2a, ts=-2b を利用する。
求まった式で，a=0 の場合を計算すればよい。

cosθ=(2b-1)/(2b+1) です。

（３）
（２）の場合から求めたcosθ=1/(√2)とおけば求まります。
因みに，双曲線　a^2=b^2-3b+1/4 の　a^2+2b>0 を満たす部分。
描画が大変かも。

回答No.2

mister_moonlight

＞ところで、(2)だが、問題に書き込みミスはないか？　私の計算ミスかな？

ごめん、ゴメン。私の計算ミス。

接線をy＝mx＋bとすると、2y＝-x＾2　‥‥(1)に接するから連立して　x＾＋2mx＋2b＝0　‥‥(2)　の判別式＝0から、m＾2＝2b。
これを(1)と(2)に代入すると、x＝±√（2b）、y＝-b。つまり、Ｑ（√（2b）、-b）、Ｒ（-√（2b）、-b）。
後は、三角形ＰＱＲに余弦定理を使うと、cosθ＝｜2b-3｜/（4b+2）。

計算に自信なし、チェックしてね。

ＱとＲが具体的に求められるから、ＰＱ、ＱＲ、ＰＲの値を具体的に求めて計算しても良い。

回答No.1

mister_moonlight

＞補足 (3)はタンジェントの加法定理を使うみたいです

さっき教えたろ。同じ質問を繰り返すなよ。

（3）

接線を　y＝m*（x-a）＋bとしい放物線と接するから連立すると、x＾2-2mx＋2b-2ma＝0　これが接するから判別式＝0　→　m＾2＋2am-2b＝0.
mは2つの接線の傾きだから、解と係数から、m1＋m2＝-2a、m1*m2＝－(2)b‥‥(1)
tangentの加法定理より（m1＝tanα、m2＝tanβだから）tan45°＝tan（α-β）＝｜（m1-m2）/（1+m1*m2）｜＝1.
｜（m1-m2）｜＝｜（1+m1*m2）｜より2乗すると、(2)を使って、4a＾2-4b＾2＋12b-1＝0.
但し、m1とm2は実数から、m＾2＋2am-2b＝0の判別式＞0　→　a^2＋2b＞0.

ところで、(2)だが、問題に書き込みミスはないか？　私の計算ミスかな？

補足

双曲線はかけたんですけど解答は双曲線のｂ＞１/２の部分となっています

これはどこから出てきたのですか？