パラメータ表示

質問

直線Ｌが（ｘ、ｙ）＝（ｐ、０）＋ｔ（ｃｏｓθ、ｓｉｎθ）で表され、放物線ｙ２乗＝４ｐｘで切り取られる弦をＡＢとしたときその長さを求める問題があるのですが、自分の問題集ではパラメータを放物線に代入して、ｔについての方程式にして、その解をα、βとして（α－β）２乗＝（α＋β）２乗－４αβが長さとしているのですがどうしてですか？方程式の解を一度パラメータの式に代入してから点の距離でやらなくていいのですか？

回答No.3

tarame

パラメータ表示は、ベクトルとあわせて考えるとわかりやすいです。
（ベクトルを[p]で表します）
[p0]＝(p,0)，[u]＝(cosθ,sinθ)とすると
直線上の点Ｐ(x,y)の位置ベクトル[P]は
[p]＝[p0]+t[u] となります。
直線上の２点Ａ([a]),Ｂ([b])とすると
[a]＝[p0]+α[u]，[b]＝[p0]+β[u] より
２点間の距離ＡＢは　
ＡＢ＝|[b]-[a]|＝|(β－α)[u]|＝|β－α|×|[u]|となります。
この問題では　|[u]|＝√{(cosθ)^2＋(sinθ)^2}＝1 ですから
ＡＢ＝|β－α|　でよいわけです

回答No.2

oyaoya65

＞直線Ｌが（ｘ、ｙ）＝（ｐ、０）＋ｔ（ｃｏｓθ、ｓｉｎθ）

この直線は点(p,0)を通り傾斜角がθの直線ですね。
t=0のときの直線上の点(x,y)は点(p,0)になります。

この直線上の二点（x1,y1）と(x2,y2)の間の距離は、
二点に対するtの値をそれぞれt1,t2とすると
｜t1-t2｜となることは直線のパラメータ表示から明らかですね。
ですから、Lと放物線の２つ交点のt座標αとβの差の絶対値が弦の長さになるわけです。

回答No.1

proto

『解をα,βとする
直線Lと放物線の交点の座標は
t=α,t=βを代入して
(p+α*cosθ,α*sinθ),(p+β*cosθ,β*sinθ)
２点の距離は
　√{{(p+α*cosθ)-(p+β*cosθ)}^2+(α*sinθ-β*sinθ)^2}
　　　=√(α-β)^2

まずルートの中を計算すると
　(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ』

このような事が省略されているのでしょう
あなたの言うようなやり方をすれば
結局(α-β)^2を計算することになります

というか、回答を読むだけでなく
実際に解いてみればわかると思うのですが
自分の力で解いてみてます？