弧長パラメータとは何？

質問

弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換することによって得られるそうですが、何故そうやって求められるのでしょうか？そもそも、弧長パラメータの概念が今一つ分からないです。

例えば、
x(t)=(asint,acost,bt)
の曲線があるとして、
これの長さ関数は
x'(t)=(acost,-bsint,0)より
int(0,t)||(x'(t))||dt
=int(0,t)sqrt(a^2+b^2)dt
=sqrt(a^2+b^2)t
より、t=x/sqrt(a^2+b^2)
ですから、x(t)の弧長パラメータ表示関数は、
x(s)=(asin(a/sqrt(a^2+b^2)),acos(s/sqrt(a^2+b^2)),
bs/sqrt(a^2+b^2))
となると解釈して宜しいのでしょうか？

分かる方がいましたら、回答宜しくお願いします。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

#1のKENZOUです。パソコンの調子がおかしくなり（←今もおかしいので古いのを使っている），レスが遅れました。

＞長さ関数＝弧長パラメータということでしょうか？
その通りと思います。
物理的イメージから迫って見ましょう。
　r（t）＝（x(t)，y(t)，z(t)）
を時間tのときの点の位置を表す位置ベクトルとしますと，それを時間で微分したdr/dtは点の速度ベクトルとなります。
　dr/dt＝（dx/dt,dy/dt,dz/dt）
この点の軌跡の長さはt=0からt=tまでの間に動いた距離ですからそれをsとすると
　s＝∫[0,t]|dr/dt|dt
つまりsはtの関数となります（←当たり前か）。時間tと共に距離sは（途中で止まることが無ければ）単純に増加していきますので，sはｔの単調増加関数ということになり，ｔをｓの関数として書くことが可能ですね。この結果
　r＝r（t）＝ｒ（s）＝ｒ（x(s),y(s),z(s)）
と表すことができます。つまり曲線ｒをパラメータsを使って表すことになりますので，このsを孤長パラメータと呼んでいます。

＞tの関数をsの関数に変換したといったことになるのでしょうか？
仰る通りと思います。

お礼

何度も丁寧な回答ありがとうございます。

ーーー引用させていただきましたーーーーーーーーーー
つまりsはtの関数となります（←当たり前か）。時間tと共に距離sは（途中で止まることが無ければ）単純に増加していきますので，sはｔの単調増加関数ということになり，ｔをｓの関数として書くことが可能ですね。この結果
　r＝r（t）＝ｒ（s）＝ｒ（x(s),y(s),z(s)）
と表すことができます。つまり曲線ｒをパラメータsを使って表すことになりますので，このsを孤長パラメータと呼んでいます。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

なるほど、こういうことだったんですね。
物理的イメージで追うと分かりやすくなり、理解できました。ありがとうございます。

回答No.1

KENZOU

孤長について復習しておきますと。。。
滑らかな曲線ｒ=ｒ(t)=(x(t),y(t),z(t))があってその曲線上の近接した2点P，Qの曲線の長さは点P，Qを結ぶ2直線で近似することができます。従って
　PQ=√{(△x)^2+(△y)^2+(△z)^2
　　=√{(△x/△t)^2+(△y/△t)^2+(△z/△t)^2}△t　　(1)
ここで△t→0の極限をとり、PQ→dsとすると
　ds=lim(△t→0)√{(△x/△t)^2+(△y/△t)^2+(△z/△t)^2}△t
　　=√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt　　(2)
となります。従って曲線に沿った弧長s(tをパラメータとする）はパラメータtを0からtまで積分すればよいから
　s(t)=∫[0,t]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt　(3)
となります。このs(t)を孤長パラメータといいます。
[例題]
　x(t)=(asint,acost,bt)　　(4)
この曲線の孤長パラメータは既に見出されているように（上の式に代入して計算すれば）
　s=sqrt(a^2+b^2)t　　(5)
となります。ここからtを求めると
　t=s/sqrt(a^2+b^2)　　(6)
これが
＞弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換
の意味でしょうか？(6)を(4)に代入すると
　x(s)=[asin{s/sqrt(a^2+b^2)}，bcos{s/sqrt(a^2+b^2)}，bs/sqrt(a^2+b^2)}]
となります。これはlinuxbeginnerさんのだされた答えと同じです。

補足

返事ありがとうございます。
分からない点があるので、再度質問させていただきたのですが、

長さ関数＝弧長パラメータということでしょうか？
で、私が先ほど計算した結果は弧長パラメータにより
tの関数をsの関数に変換したといったことになるのでしょうか？

宜しければご回答お願い致します。