数学の宿題の問題が解けないので教えてください。

質問

a>0を定数とする。媒介変数表示された曲線C:x(t)=asint、y(t)=-acost-alogtant/2(条件:0<t≦π/2)
について
(1)Cは関数y=-(a^2 -x^2)^1/2 -alogx + alog(a+(a^2 -x^2)^1/2)　(条件:0＜x≦a)のグラフと一致することを示せ。
(2)C上の1点Pにおける接線がy軸と交わる点をQとするとき、PQの距離を求めよ。

とあるのですが、3時間かけてもまったく解けないので教えて頂きたいのです。
(1)はx(t)=asint、y(t)=-acost-alogtant/2をy'(t)/x'(t)の形で微分したのですが、そのあとどうすれば良いのかが分からず、(2)もからっきしです。お願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

＞a>0を定数とする。媒介変数表示された
＞曲線C:x(t)=asint、y(t)=-acost-alogtant/2(条件:0<t≦π/2)
＞について

＞(1)Cは
＞関数y=-(a^2 -x^2)^1/2 -alogx + alog(a+(a^2 -x^2)^1/2)　(条件:0＜x≦a)
＞のグラフと一致することを示せ。

＞(2)C上の1点Pにおける接線がy軸と交わる点をQとするとき、PQの距離を求めよ。

y(t)=-acost-alogtant/2
2がどこのかかるのかが解りません。
y(t)=-acost-a(logtant)/2ですか、y(t)=-acost-alog(tant/2)ですか。どちらにしてもy=-(a^2 -x^2)^1/2 -alogx + alog(a+(a^2 -x^2)^1/2)にならないのでミスプリがあるのでしょう

ともあれ媒介変数tを消去すれば解けます。

(1)x=asintより
sint=x/a
cost=(a^2-x^2)^(1/2)/a
tant=x/(a^2-x^2)^(1/2)
logtant=logx-(log(a^2-x^2))/2
これらをｙの式に代入すればよろしい。

(2)P(p,q)とすると直線PQは
y-q=y'(x-p)
y'=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)：これはx.yを各tで微分して求められます。これをmと置きます。つまりm=y'
x軸との交点を求めるためy=0として
x=p-q/mよって
Q(p-q/m,o)

PQ
=((q/m)^2+q^2)~(1/2)
=(1+m^2)^(1/2)(q/m)

q=y(t),m=(dy(t)/dt)/(dx(t)/dt)を代入すればよろしい。

補足

y(t)=-acost-alog(tant/2)です。(1)について、「tant/2=sint/(1+cost)を用いてtを消去すればよい」と書いてあるのですが、どのように使えばよいのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

(1) に微分は不要. なぜ微分しようと思ったんだろう.
(2) は P の座標を適当に文字であらわして問題に書いてあるように勧めるのかな?

補足

(1)については知人の大学生の教わった際に微分しなさい、と言われたからです。僕は理解できていません。
(2)については、そのとおりだと思います。
ちなみに解答では、(1)は「tant/2=sint/(1+cost)を用いてtを消去すればよい」(2)は「dy/dx=-{(a^2-x^2)^1/2}/xであるから、点(c,f(c))における接線の方程式を求めるとy=-[{(a^2-c^2)^1/2 ・x}/x]- [(logc)/{a+(a^2-c^2)]となり、よってPQ=a」と書いてあります。