- ベストアンサー
サイクロイドの特異点
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
F(x,y) = { f(x,y) }^2 で定義される関数 F を考えると、 f(x,y) = 0 と F(x,y) = 0 は同じ曲線を表しますが、 曲線上の任意の点で dF/dx = dF/dy = 0 となっています。 この事情は、媒介変数表示のときと同じです。 関数 F(x,y) が正則かどうかと、 式 F(x,y) = 0 が表す曲線が正則かどうかは、 別の話だと思います。
その他の回答 (1)
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
正則曲線とは、正則な媒介変数表示が存在するような曲線 のことを言います。たまたま一つの媒介変数表示が正則か どうかで決まるのではありません。 この例で、dr/dt = ↑0 となる t が在るということは、 媒介変数表示 r(t) が正則ではないということであって、 サイクロイドが正則曲線か否かは、また別の話です。 試しに、u = cos t で変数変換してみてください。 u による媒介変数表示は正則で、よって、 サイクロイドは正則曲線であると言えます。 正則曲線に、正則な媒介変数表示を与える方法として、 曲線上の固定点から各点までの弧長を媒介変数とする 方法があります。(上記の u は、それとは違います。)
関連するQ&A
- サイクロイドの弧の長さ
サイクロイドの弧の長さをもとめたいのですが答えといっちしません。 範囲は0<=t<=2t x=a(t-sint) y=a(1-cost) 答えは8aになるみたいなんですがなりません。 式は教科書にあった 2t ∫√(dx/dt)^2 + (dx/dt)^2 dt 0 でやりましたがあってますよね??
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の宿題の問題が解けないので教えてください。
a>0を定数とする。媒介変数表示された曲線C:x(t)=asint、y(t)=-acost-alogtant/2(条件:0<t≦π/2) について (1)Cは関数y=-(a^2 -x^2)^1/2 -alogx + alog(a+(a^2 -x^2)^1/2) (条件:0<x≦a)のグラフと一致することを示せ。 (2)C上の1点Pにおける接線がy軸と交わる点をQとするとき、PQの距離を求めよ。 とあるのですが、3時間かけてもまったく解けないので教えて頂きたいのです。 (1)はx(t)=asint、y(t)=-acost-alogtant/2をy'(t)/x'(t)の形で微分したのですが、そのあとどうすれば良いのかが分からず、(2)もからっきしです。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 空間曲線の接線を求める問題がわかりません
次の方程式で与えられる空間曲線がある. x = acost y = asint z = bt ただしa,bは0でない定数である。0≦t≦2πであるとき、この空間曲線の接線とxy平面の交点が描く曲線の長さを求めよ. どういったアプローチで解けばよいのかの検討もつかない状態です。 どなたか解説宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この曲線(特性曲線)がどうなっているか教えて下さい
この曲線(特性曲線)がどのようになっているのか分かりません。 A>0を任意定数とする曲線 x(t)=Asint、y(t)=Acost(-∞<-t<∞) です。 グラフにするとどうなっているのでしょうか? どなたか教えて下さい。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル解析で分からない問題だらけで困っています(
ベクトル解析で分からない問題だらけで困っています(~_~;) 1. A↑=A↑(t)とB↑=B(t)↑でA↑とB↑が平行で、かつdA↑/dtとB↑が平行であるならばA↑とdB↑/dtも平行であることを示せ。 (略解) A↑×B↑=0の両辺をtで微分せよ。 2. 曲線R1=costi+sintj+3t^2k(t>0)の接線とR2=θj+θ^2kの接線の方向が一致するとき、tとθの値を求めよ。 (i.j.kは基本ベクトル) 答え t=nπ、θ=(-1)^n ×3nπ nは正の整数 3.サイクロイド曲線R(θ)=a(θ-sinθ)i +a(1-cosθ)jの(0<θ<2p)のとき、曲線の長さsをθの関数として表せ。 またこの曲線の単位接戦ベクトルt↑と主法線ベクトルn↑を求めよ。 答え n↑=cosθ/2 i -sinθ/2 j (単位接線ベクトルの解答はありませんでした) の3問です。 できれば詳しい解答を望みますが、解くための考え方などを教えていただけるのもとてもありがたいのでよろしくお願いしますm(_ _)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 空間曲線
一般の媒介変数t を用いて, (t) と表される滑らかな空間曲線がある. 曲線上のt = 0 の点から, 媒介変数の値がt となる点までの弧長をs(t) とする. この曲線を弧長パラメータで表したとき, 曲線の単位接ベクトルe, 主法線ベクトルn, および従法線ベクトルb は, プライム( ′ ) をs 微分として, 次式で与えられる e =a' n = e'|e'| b = e ×n . また, 曲線の曲率κ と捩率τ は, それぞれκ =|e'|, τ = -b' n で与えられる. (d/dt)s(t) =|(d/dt)a(t)|を図を用いて説明し, e(t) = (d/dt)a(t)/|(d/dt)a(t)|を示せ. なぜ、e =a' で、e(t) = (d/dt)a(t)/|(d/dt)a(t)| となるのですか? e≠e(t)なんですか? この問題の答えと詳しい解説をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学のベクトル関数について分からない個所があり困っています。
数学のベクトル関数について分からない個所があり困っています。 曲線r=(3cost,3sint,4t)について (1)曲線上の点P(0)から点P(t)までの曲線の長さs (2)単位接線ベクトルt (3)単位主法線ベクトルn (4)単位従法線ベクトルb (5)曲率k この問題が分からなくて困ってます。しかも、急ぎです。 助けてください。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
補足
親切な回答ありがとうございます。 それでは、媒介変数の取り方によって正則であるかどうかを判定するのは非常に困難な気がしますね… デカルト座標系の場合ですと、与えられた関数を0にする(f(x,y)=0)とすると、 f(x,y)=0 df/dx=0 df/dy=0 を満たす点が特異点というらしいのですが…もしもこの理論をサイクロイド曲線に適用した場合は、媒介変数の取り方を調べなくていいのでしょうか?