大学入試の数学過去問について

質問

「xy平面上に曲線C:y=x³-2x+1と点A(2,-3),B(2,a)がある。
(1)点(t,t³-2t+1)におけるCの接線がAを通るようなtの値を求めよ。
(2)点Bから曲線Cに3本の接線が引けるようなaの値の範囲を求めよ。」
この問題の解き方が分かりません。是非教えてください。
ちなみにこの問題は2006年度の関西学院大学の入試問題です。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

(1)
C:y=x^3-2x+1 ...(A)
　y'=3x^2-2
点(t,t^3-2t+1)における接線
y=(3t^2-2)(x-t)+t^3-2t+1 ...(B)
(B)が点点A(2,-3)を通ることから
-3=(3t^2-2)(2-t)+t^3-2t+1
整理して
　-2(t-3)t^2=0
∴ t=0, 3 …(1)の答え

なお、接線は
　t=0の時 y=-2x+1
　t=2の時 y=25x-53

(2)
B(2,a)を通るCの接線は (B)より
a=(3t^2-2)(2-t)+t^3-2t+1
a=-2t^3+6t^2-3 ...(C)
点B(2,a)を通るCの接線が3本存在する条件から
tの３次方程式(C)が異なる3実数を持てば良い。
すなわち
y=a ...(D)
y=g(t)=-2t^3+6t^2-3 ...(E)
とおけば(D)と(E)のグラフが異なる３交点を持てば良い。
(E)のグラフについて
g'(t)=-6t(t-2), g''(t)=-12(t-1)
g'(t)=0の時 t=0,2
t=0の時　g''(0)=12>0 , 極小値f(0)=-3
t=2の時　g''(2)=-12(<0), 極大値f(2)=5
y=g(t)のグラフの概形を描くと添付図の青線のようになる。
（増減表を作って(E)のグラフの概形を描いて下さい）
点B(2,a)を通る曲線Cの接線が添付図の緑線のように3本引けるための条件は(E)のグラフにx軸に平行な直線(D)(赤線グラフ)と異なる３交点を持てば良い。すなわち
　-3<a<5 …(2)の答え

回答No.5

spring135

＃3です。

(2)極大値の数値計算が間違っていました。

極大はｔ＝2のときで極大値は5です

従って

-3<a<5

が答えです。

回答No.3

spring135

y=x^3-2x+1上の点(t,t^3-2t+1)における接線は

y’=3x^2-2より

y-( t^3-2t+1)=( 3t^2-2)(x-t)

整理して

y=( 3t^2-2)x-2t^3+1

(1)これがA(2,-3)を通ることから

-3=( 3t^2-2)2-2t^3+1

整理して

t^3-3t^2=0

この解は

t=0　又は　t=3

(2) これがB(2,a)を通ることから

a=( 3t^2-2)2-2t^3+1

整理して

a=-2t^3+6t^2-3

y=a

と

y=-2t^3+6t^2-3　(1)

の交点を考えればよい

(1)をtで微分して

dy/dt=-6t^2+12t=-6t(t-2)

(1)はt=0で極小（極小値は-3）、t=2で極大（極大値は13）

(増減表を書いて曲線の概要を図示すること。)

答え

-3<a<13

回答No.2

Misaka_10032

待てｗ　問一はマジで教科書レベルだぞ。関学ってこんなサービス問題を出すのか！？
ということで、教科書を見直しましょう。この問題すら分からなければ、志望校の
ランクを相当落とさないと行けない。

回答No.1

Tacosan

(1) だけ:
「点(t,t³-2t+1)におけるCの接線がAを通る」という条件から得られる t の方程式を解く.