数学問題の解説・積分

質問

積分の証明の問題です。
テキストの例題解説をどう組み合わせても出来上がりません。

１）F１（ｘ）とF2（ｘ）がともにｆ（ｘ）の不定積分であるとき、適当な定数Cを用いて、F1（ｘ）＝F２（ｘ）＋Cと表せることを示せ。

２）不定積分の定義より、∫ｄｆ/ｄｘ・ｄｘ＝f（x）＋Cであることを示せ。

よろしくお願いします。

回答No.2

funy765 · ベストアンサー

素人ですが。

(1)F1,F2ともfの不定積分であることから、
F1(x)=∫f(x)dx+C1 ...(1)
F2(x)=∫f(x)dx+C2 ...(2)

(1)-(2)より
F1(x)-F2(x)=C1-C2

F1(x)=F2(x)+C ※C=C1-C2と置く

(2)不定積分の定義より、
F(x)=∫f(x)dx+C...(1)
dF(x)/dx=f(x)...(2)

(1)(2)より
F(x)=∫(dF(x)/dx)dx+C

この式は任意の関数で成り立つので、F(x)をf(x)で置き換えて、
f(x)=∫(df(x)/dx)dx+C
∫(df(x)/dx)dx=f(x)-C
∫(df(x)/dx)dx=f(x)+C'

お礼

解けることがすごいと思います。
なんとかなりそうです…丁寧に教えてくださり
ありがとうございました！

回答No.1

noname#133363

例題解説を組み合わせるより、不定積分の定義をジッと見ればいいと、個人的には思いますよ。
不定積分や原始関数の定義が人によってマチマチ、と書いてる本もあるけど。
こういう当たり前っぽい証明問題でもがんばって自分でやらないと、定義ってなかなか頭に入らないんだよなあ…。

お礼

おっしゃる通りです…が、テストが迫ってまして…泣OTL
どうにか凌げましたら、自分一人でも解けるよう考えることにいたします。
アドバイスありがとうございました！