第2種楕円積分の逆関数？

質問

Cをある定数とおいた時、E(φ,k)を第2種楕円積分として、

　　E(φ,sqrt(1/2))=C

の時のφの値を求めるにはどうすればよいでしょうか？
E(φ,k)の逆関数がわかればいいのでしょうか・・。

色々調べても皆目見当がつかなかったので、どうかよろしくお願いいたします。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> 実はとあるプログラムの中で、任意のEに対するφを随時出力したい
> （例えばy=sinφのサインカーブ上を+φの向きにS[m]進んだとき、その位置でのφの値を求めたい）
> のですが、楕円積分関連のサブルーチンを探しても「ニューメリカルレシピ・イン・シー」程度しか見つからず、
> またそれは与えられたφ、kからE(φ,k)を求めるものにすぎませんでした。

与えられたφ，kからE(φ,k) を求めるサブルーチンをお持ちでしたら，
f(x) = C という方程式の数値解を求める手法(二分法や Newton 法)と組み合わせればいいのではないでしょうか．
Newton 法では f'(x) が必要ですが，今は f(x) が楕円積分になっていますから，
f'(x) は楕円積分の被積分関数そのものです．

回答No.2

siegmund

【１】
Mathmatica でやるのでしたら，例えば C=0.5 の場合，

FindRoot[EllipticE[φ, 1/√2] == 0.5, {φ, {0, Pi/2}}]

で
φ -> 0.515759
と一発です(ラジアン単位)．

Maple はよく知りませんが，FindRoot ではなくて fsolve というコマンドでしたっけ？

【２】
数式処理ソフトをお持ちでないなら
http://has10.casio.co.jp/
から，楕円積分 => 第2種不完全楕円積分 E(φ,k)，とたどって
φ をいろいろ変えて try and error でしょうかね．
単調変化ですから，すこしやれば求められますね．
このサイトでは φ は度単位です．

【３】
他には，例えば
http://integrals.wolfram.com/
でも数値積分をやってくれますから，
【２】と同じようにやればＯＫです．
ここはラジアン単位でしょう．

他にも便利なサイトがあるかも知れませんが...

お礼

ご回答ありがとうございます。

実はとあるプログラムの中で、任意のEに対するφを随時出力したい
（例えばy=sinφのサインカーブ上を+φの向きにS[m]進んだとき、その位置でのφの値を求めたい）
のですが、楕円積分関連のサブルーチンを探しても「ニューメリカルレシピ・イン・シー」程度しか見つからず、
またそれは与えられたφ、kからE(φ,k)を求めるものにすぎませんでした。
どうにかして第2種楕円積分を第1種楕円積分（またはその逆関数）を
用いて表すことが出来ればよさそうな気がするのですが・・。

何か他に良い方法は無いものでしょうか・・。

回答No.1

info22

y=E(φ,1/√2)のグラフを描いておいて、y=Cとなるときのφを求めるだけで
いいかと思います。

数式処理ソフトのMapleだと
plot([EllipticE*(sin(t), 1/2^(-1/4)), t, t = 0 .. Pi/2],
x = 0 .. Pi/2, axes = normal, view = [0 .. Pi/2, 0 .. Pi/2], tickmarks = [5, 3], labels = [C, fai])；
で逆関数（単調増加）のグラフが描けます。
横軸のCの範囲は0～E(π/2|1/√2)≒1.2374225249,縦軸φの範囲は
0～π/2[rad]です。

お礼

現況はNo.2の方への返信の通りです。

info22様のご回答を見てふと考えたのですが、EXCELか何かで
ざーっ、と数値積分させて近似曲線の方程式を出せば良いのかも、
と思ったのですが正しいのでしょうか・・。

補足

ご回答ありがとうございます。