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積分の問題です

積分の問題です。 f(x)=x^2-4x+5とする。 aを実数とし、 a≦x≦a+1での関数f(x)の最小値をm(a)とする 1、m(a)をaであらわせ 2、C:y=f(x)とx=a,x=a+1,y=m(a)-1で囲まれた面積をS(a)とする。 aがすべての実数を動くとき、S(a)の最小値を求めよ この問題の2の解き方が分かりません。具体的にはどのように場合わけすればいいのかがわかりません。 ちなみに2のこたえはa=3/2のとき最小値13/12です

みんなの回答

回答No.1

2はつまり、S(a)=∫[a→a+1] f(a)-(m(a)-1) dx の最小値を求める問題で この式のm(a)は1の結果のように変化しますので、1と同じ用に場合分けする必要があります。 つまり、a<1, 1≦a≦2, 2<a での場合分けです。 これら3通りのS(a)の最小値を比較して、最も小さいものが当然答えになります。 この問題はf(x) の頂点が(2,1)と比較的分かりやすいため ある程度の図を描く力と、頭の中で線を推移させることになれていれば S(a)が最小になるaは1≦a≦2の区間だと看破できます。 時間があるならすべて試してもいいですが、このレベルですとある程度あたりをつけることが望ましいですね。 ちなみに1≦a≦2の場合、m(a)=1なので S(a)=∫[a→a+1] f(a)-(m(a)-1) dx   =∫[a→a+1] x^2-4x+5 dx =a^2-3a+10/3 となりS(a)は3/2でmin13/12を取ることが分かります。

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