積分の問題

質問

昨日から考えているのですが解けません。
途中の計算式を含め、
計算手順を示していただけると
うれしいです。

∫1/(cos^4 x)dx

答えはtan x + 1/3 tan^3 x です。

読みにくくてスミマセン。
解答しか載っておらず、解けません。
テストが近いので、答えていただけるとうれしいです。

この他にも解けない積分の問題がたくさんあり、
困っています。

回答No.2

pandafish · ベストアンサー

不定積分なので積分定数があると思いますが。

一番わかりやすいのは置換積分かと思います。
tanx=y
と置換すると
1/cos^2x=dy/dx
で
∫1/(cos^4 x)dx
=∫(1+tan^2x)/cos^2xdx (∵ 1+tan^2x=1/cos^2x)
=∫(1+y^2)dy
=y+1/3y^3+C (C;積分定数)

これで最終的に置換を戻せば
=tanx+1/3tan^3x+C

となります。

なお、積分に自信がないようでしたら、まずいろいろな関数を微分して関係性を把握することが重要かと思います。
その後、部分積分や置換積分などの技法を身につけていけばいいと思います。
大切なのはひたすら問題を解くのではなく、なぜそうなっているのかをしっかりと考えることです。頑張ってください。

お礼

詳しい計算手順をしめしていただきありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

今ひたすら問題を解いていたので、次また同じような問題に出会ったときに、生かせるような勉強をしたいと思います。

回答No.3

endlessriver

解答をみれば解き方が暗示されています。
一般にsin x, cos xの有理関数の積分はt=tan(x/2)と変換すればよいことはよくしられています。
今回のように、(sin x)^2,　(cos x)^2,　sin(x)cos(x)の有理関数の積分はt=tan xとするとよいとのことです。

お礼

t=tan(x/2)しか知らず、
この変数変換を使って、解けませんでした。
t=tan xの変換もあるのですね。
ありがとうございます。

回答No.1

zk43

1/(cos^4 x)=(cos^2x+sin^2x)/cos^4x=1/cos^2x+tan^2x/cos^2x
であり、tanxの微分が1/cos^2xだから、あとは分かると思います。

お礼

ありがとうございます。