複素フーリエ級数の質問です

質問

大学のレポート問題が解けず困っています。分かる方、ご回答をお願い致します。
また、自分が複素フーリエ級数についてよく分っていないので意味不明な計算をしているかもしれません。
その際はご指摘いただけると有り難いです。

f(x)=0(-1≦x＜1),x-1(1≦x＜3)
f(x+4)=f(x)

この関数f(x)の複素フーリエ級数を求めて実数形のフーリエ級数と一致することを確かめよ、という問題です。

この問題の答えは
複素形(？)
(1/2)+(i/π)Σ[n=-∞～∞(n≠0)](1/n){cos(nπ/2)+(i+2/nπ)sin(nπ/2)}e^inπx/2

実数形
(1/2)-(2/π)Σ[n=1～∞]{{(-1)^(n+1)/(2n-1)}cos{(2n-1)π/2}x
+(1/n){(2/nπ)sin(nπ/2)+cos(nπ/2)}sin(nπ/2)x}
となっていました。
複素形については答えを出せたのですがそれを実数形に変形するところがうまくいきませんでした…

f(x)～(1/2)+(i/π)Σ[n=-∞～∞(n≠0)](1/n){cos(nπ/2)+(i+2/nπ)sin(nπ/2)}e^inπx/2
=(1/2)+Σ[n=1～∞]{-(2/i2nπ){cos(nπ/2)+(i+2/nπ)sin(nπ/2)}{e^(inπx/2)-e^(-inπx/2)}
=(1/2)-Σ[n=1～∞](2/nπ){cos(nπ/2)+(i+2/nπ)sin(nπ/2)}sin(nπ/2)x

上の式のΣ以降を計算すると、実数形の答えの中にある
Σ[n=1～∞](-2/nπ){(2/nπ)sin(nπ/2)+cos(nπ/2)}sin(nπ/2)x}
の形は出てくるのですが、残りの
Σ[n=1～∞](2/nπ){i*sin(nπ/2)}sin(nπ/2)x
の部分をどう変形すれば
Σ[n=1～∞](2/π){{(-1)^(n+1)/(2n-1)}cos{(2n-1)π/2}x
の形になるのかが分からないのです…

もしsin(nπ/2)が(-1)^(n+1)（nは奇数)に対応するのならば残りのi*sin(nπ/2)xが
{-1/(2n-1)}cos{(2n-1)π/2}xに対応するのだろうと思いましたがやはり解決には至りませんでした…

お分かりの方、回答の方をよろしくお願い致します。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

式が複雑でわからないところがありますが
（1）e^ix=cosx+isinx
(2)i^2=-1
を使って計算し、実数部と虚数部を正しく分け、加法定理等で整理し、実数部だけ取り出せば実数形に到達するはずです。

お礼

回答ありがとうございます。
返答が遅くなりすみません…。

質問後に改めて解いてみたら解けました。
どうやら何か所か解釈を間違えていたようです。
ご迷惑をおかけしました…。
ご回答ありがとうございました。