※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：複素フーリエ級数の質問です）
複素フーリエ級数の求め方と実数形への変形についての質問
このQ&Aのポイント
大学のレポート問題で困っている複素フーリエ級数の求め方と実数形への変形についての質問です。
関数f(x)の複素フーリエ級数は(1/2)+(i/π)Σ[n=-∞～∞(n≠0)](1/n){cos(nπ/2)+(i+2/nπ)sin(nπ/2)}e^inπx/2です。
実数形のフーリエ級数は(1/2)-(2/π)Σ[n=1～∞]{{(-1)^(n+1)/(2n-1)}cos{(2n-1)π/2}x+(1/n){(2/nπ)sin(nπ/2)+cos(nπ/2)}sin(nπ/2)x}となりますが、実数形への変形方法が分からない状況です。回答よろしくお願い致します。
大学のレポート問題が解けず困っています。分かる方、ご回答をお願い致します。
また、自分が複素フーリエ級数についてよく分っていないので意味不明な計算をしているかもしれません。
その際はご指摘いただけると有り難いです。
f(x)=0(-1≦x＜1),x-1(1≦x＜3)
f(x+4)=f(x)
この関数f(x)の複素フーリエ級数を求めて実数形のフーリエ級数と一致することを確かめよ、という問題です。
この問題の答えは
複素形(？)
(1/2)+(i/π)Σ[n=-∞～∞(n≠0)](1/n){cos(nπ/2)+(i+2/nπ)sin(nπ/2)}e^inπx/2
実数形
(1/2)-(2/π)Σ[n=1～∞]{{(-1)^(n+1)/(2n-1)}cos{(2n-1)π/2}x
+(1/n){(2/nπ)sin(nπ/2)+cos(nπ/2)}sin(nπ/2)x}
となっていました。
複素形については答えを出せたのですがそれを実数形に変形するところがうまくいきませんでした…
f(x)～(1/2)+(i/π)Σ[n=-∞～∞(n≠0)](1/n){cos(nπ/2)+(i+2/nπ)sin(nπ/2)}e^inπx/2
=(1/2)+Σ[n=1～∞]{-(2/i2nπ){cos(nπ/2)+(i+2/nπ)sin(nπ/2)}{e^(inπx/2)-e^(-inπx/2)}
=(1/2)-Σ[n=1～∞](2/nπ){cos(nπ/2)+(i+2/nπ)sin(nπ/2)}sin(nπ/2)x
上の式のΣ以降を計算すると、実数形の答えの中にある
Σ[n=1～∞](-2/nπ){(2/nπ)sin(nπ/2)+cos(nπ/2)}sin(nπ/2)x}
の形は出てくるのですが、残りの
Σ[n=1～∞](2/nπ){i*sin(nπ/2)}sin(nπ/2)x
の部分をどう変形すれば
Σ[n=1～∞](2/π){{(-1)^(n+1)/(2n-1)}cos{(2n-1)π/2}x
の形になるのかが分からないのです…
もしsin(nπ/2)が(-1)^(n+1)（nは奇数)に対応するのならば残りのi*sin(nπ/2)xが
{-1/(2n-1)}cos{(2n-1)π/2}xに対応するのだろうと思いましたがやはり解決には至りませんでした…
お分かりの方、回答の方をよろしくお願い致します。
お礼
回答ありがとうございます。 返答が遅くなりすみません…。 質問後に改めて解いてみたら解けました。 どうやら何か所か解釈を間違えていたようです。 ご迷惑をおかけしました…。 ご回答ありがとうございました。