Fourier級数について

質問

区間(-π,π]でe^(ax)と定義された関数を周期2πの周期関数に拡張して、複素型のFourier級数を求めよ、と問題があったのですが、解答と合いません。
以下に私の途中までの計算を乗せます。インテグラルの表記の仕方がわからないので、積分するところを{}で括ります。区間は()の中に書いておきます。見にくくてすみません。

Cn=(1/2π){f(x)e^(-inx)dx} (-π,π)
=(1/2π){e^(ax)e^(-inx)dx} (-π,π)
=(1/2π){e^((a-in)x)dx} (-π,π)
=(1/2π)(1/(a-in))[e^((a-in)x)] (-π,π)
=(1/2π)((a+in)/(a^2+n^2))(e^(aπ-inπ)-e^(-aπ+inπ))

となりました。ここで、f(x)のFourier級数は、
　Cn・e^(inx)をマイナス無限大から無限大まで足して求めるのだと思いますが、解答ではその答えが
(2sinhaπ/π){1/2π+sigma(((-1)^n/(a^2+n^2))(acosnx-nsinnx))}
となっていました。
sigmaはnが1から無限大までです。
sinhaπ=(1/2)(e^aπ-e^(-aπ))という変形は知っていますが、どうしてもこの式になりません。逆算しても合わないので、最初の計算が違うのかと思ってもいます。
大変見にくくて申し訳ないのですが、どこかおかしいところがあったらご指摘ください。お願いします。

回答No.1

adinat

Cnはたぶんほぼ確実に正解だと思います。そのあとですが、

とりあえず和を-∞から∞までとるとしてn項目の実部は
(1/π)sinh(aπ)(-1)^n/(a^2+n^2))(acosnx-nsinnx))
になります。
だから
(2sinhaπ/π){1/2π+sigma(((-1)^n/(a^2+n^2))(acosnx-nsinnx))}
ではなくて
(2sinhaπ/π){1/2a+sigma(((-1)^n/(a^2+n^2))(acosnx-nsinnx))}
だと正解になると思います。
{}内の最初の項の分母がπではなくa。

なお虚部についてはフーリエ級数が収束することから0になるので、
実部だけを比較すればよいです。

お礼

あ、わかりました。
どうもありがとうございました。

補足

和を-∞から∞までとると、何故
(1/π)sinh(aπ)(-1)^n/(a^2+n^2))(acosnx-nsinnx))
になるのですか。
e^(aπ-inπ)-e^(-aπ+inπ)の実部のみの計算ってどうやるのでしょうか。sinhaπが出てくることから
e^(aπ)-e^(-aπ)
で括るのだろうと思うのですが、虚部と実部の分け方がよくわからないんです。