フーリエ級数

質問

フーリエ級数

区間［－Ｌ/２，Ｌ/２］でｆ(ｘ)＝ｘと定義され、
この区間の幅を周期とする関数を
フーリエ級数で表せ。

最近、習ったのですが
どうしていいか分からず
手が動かない状態です。

どうすればいいのでしょう？

回答No.2

ninoue

この問題はフーリエ級数展開に関して基本的なものだと考えられます。
教科書を再度読み直してください。

或いは
"フーリエ級数展開　解説"　
"フーリエ級数展開　原理"　等でサーチし、理解してください。

それらの中で例題、演習問題等として鋸波、三角波等の同様な問題が出ているようです。

回答No.1

koun

ちょっと自信があまりないのですが、回答してみます。
フーリエ級数で表すというのは
f(x)=Σ(n=-∞～n=∞)g(n)×(1/√L)exp(i(2πn/L)x)
というふうに、f(x)を正規直交完全系で表すことだと思います。
この場合、区間［－Ｌ/２，Ｌ/２］で{(1/√L)exp(i(2πn/L)x) (n=0,+-1,+-2,・・・)}が正規直交完全系を成します。
これからg(n)を求めます。
正規直交完全系の性質
∫(-L/2～L/2)a_m(x)*×a_n(x)dx=δmn
を使えばg(n)が計算できます。
(ここでa_n(x)=(1/√L)exp(i(2πn/L)x)という記号を使いました。a_m(x)*はa_m(x)の共役複素数という意味です。)

g(n)=∫(-L/2～L/2)a_n(x)*×f(x)dx=∫(-L/2～L/2)a_n(x)*xdxです。
計算してみたのですが、
g(x)=(iL√L/(2πn))×(cosπn-(1/(πn))sinπn)
となりました。

お礼

ありがとうございます。

もう１回ゆっくり読ませてもらいます。