フーリエ級数展開について

質問

周期2の関数
f(x)=0 (-1<x≦0)
f(x)=x^2 (0<x≦1)

の複素フーリエ級数を求め,実フーリエ級数に直す過程の計算を教えて下さい。

回答No.2

kiyos06

0.1)f(x) = Σ[n=-∞,∞] cn e^(inωx)
0.2)f(x) = Σ[n=0,∞] an cos(nωx) +bn sin(nωx)

1.1)f = Σ[n=-∞,∞] cn cos(nωx) +i cn sin(nωx)
2)fが実数
2.1)f =Σ[n=0,∞] Re(cn) cos(nωx) +Im(cn) sin(nωx)
3)an =Re(cn), bn =Im(cn)

4)cn =k ∫[0,1] x^2 e(inωx) dx　(ω =2π/T, T=2)

参考URL：

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n296821

回答No.1

info222_

c[0]=(1/2) ∫[0,1] x^2 dx=1/6
c[n]=(1/2) ∫[0,1] x^2*e^(-inπx) dx=((-1)^n /(nπ)^2)+(-1)^n i/(2nπ)+i (1-(-1)^n)/(nπ)^3
(n≠0)
f(x)=c[0]+Σ[n=±1,±2,±3, ...] c[n] e^(inπx)
=1/6+Σ[n=1,2,3, ...] {c[n] e^(inπx)+c[-n] e^(-inπx)}
=1/6+Σ[n=1,2,3, ...] (c[n]+c[-n])cos(nπx)+i(c[n]-c[-n])sin(nπx)
(-1)^(-n)=1/(-1)^n=(-1)^n より
f(x)=1/6+Σ[n=1,2, ... ,∞] 2((-1)^n /(nπ)^2)cos(nπx)
+Σ[n=1,2, ... ,∞] (i^2){(-1)^n /(nπ)+2(1-(-1)^n)/(nπ)^3} sin(nπx)
=1/6+Σ[n=1,2, ... ,∞] 2((-1)^n /(nπ)^2)cos(nπx)
－Σ[n=1,2, ... ,∞] {(-1)^n /(nπ)+2(1-(-1)^n)/(nπ)^3} sin(nπx)