フーリエ級数について

質問

フーリエ級数について
現在複素解析を勉強している大学生です。
フーリエ級数で分からない問題が出てきましたので質問させていただきました。
問題は以下の通りです

実変数xの関数 1/(3+cos(x)) のフーリエ級数を求めよ

どのようにしてとけばよいのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

関数が偶関数なので
a0/2=(1/π)∫[0,π] 1/{3+cos(x)}dx=(√2)/4
bn=0
an=(1/π)∫[0,π] cos(nx)/{3+cos(x)}dx=π*3F2(1/2,1,1;1-n,n+1;-1)
ここで 3F2(a1,a2,a3;b1,b2;z)は正規化され一般化された超幾何関数(p=3,q=2の場合)
この特殊関数については参考URLの中の説明をご覧下さい。
実際の係数の計算例は以下を参照下さい。
http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/HypergeometricPFQRegularized.html

a1=1-(3/4)√2=-0.0606602 ...
a2=0.01040764008565 ...
a3=-0.001785668734 ...
a4=0.00030637231896 ...
...
この数値計算は以下で行えます。
参考a4の例
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(2*pi)*integrate[Cos[4*x]%2F(3%2BCos(x))%2C{x%2C-pi%2Cpi}]

お礼

ありがとうございました