lim[x→0](sinｘ)/x=1 の厳密な証明、sinｘの定義

質問

高校の教科書では、
0<ｘ<π/2のとき，面積を考えて、
(sinｘ)/2<ｘ/2<(tanｘ)/2
2をかけて、辺々の逆数を取ると，
cotｘ<1/ｘ<cosecｘ
辺々にsinｘをかけると，
cosｘ<sinｘ/ｘ<1
lim[ｘ→0]cosｘ=1
挟み撃ちの原理より，lim[ｘ→0]sinｘ/ｘ=1
と書かれています。
これを出発点として、(sinx)'=cosxが分かり、三角関数の微積分が構築されます。

しかし、面積は厳密には、積分で定義され、微積分学の基本定理から、微分の逆演算として計算されます。
すると、面積を用いて、lim[x→0](sinｘ)/x=1を証明するのは循環論法。

lim[x→0](sinｘ)/x=1 の厳密な証明を、sinxの定義とともに教えてください。

回答No.15

koko_u_ · ベストアンサー

fjfsgh さんが「曖昧だ」と感じている箇所がどうしても把握できません。

>僕自身の考えとしては、それはできるかもしれないが、とても複雑で、
>それに費やす膨大な時間は無価値だろう。
>それをもとに、lim[x→0](sinｘ)/x=1を証明するのは、たぶん、どの数学者もやっていない。
２つ言いたいことがあって、

一つは無価値ではないということ。今回話題に登っている「角度」や「円弧」の実体が何かを考えることは数学的に非常に有意義なことです。
大きく遠回りして結論に辿り着いたとするならば、ショートカットで結論に辿り着いた時よりも遼かに多くのことを学び、そして得られた結論が fjfsgh さんの中でリアリティを持つでしょう。

もう一つは、ここで私がちょろちょろっと書いたことなど、微々たる量だし、更に厳密性を追及したとしてもさほど複雑ではありません。
数学の世界は私が表面上把握している以上に混沌として複雑怪奇な世界です。

>ANo.13で、
>周長の定義を「内接多角形の周長の上限」とする。
>と書かれていますが、たとえば、円はフラクタルみたいにどこまでも
>細かいギザギザがあるとイメージすると、内接多角形の周長の上限が
>無限大になるかもしれないし。
無限大にならないことを証明したつもりでしたが。
何度も言うように、どこが「曖昧だ」と思うのか書かれていないのでフォローのしようがありません。

補足

曖昧なところは、たとえば次のところです。

＞周長の定義を「内接多角形の周長の上限」とする。即ち、
＞扇形の中心を O、(1, 0)の点を A、もう一方の頂点を P として
＞周AP の長さ L(P) := sup{ L(P_0,P_1,...,P_n) | L(P_0,...,P_n)
＞ は AP を n 分(等分でなくて良い)した、
＞折れ線(A=P_0, P_1, ..., P_n = P)の長さ }

＞上界 L(P) が存在するので、L(P) に収束する折れ線の列
＞ K_i = (A=P_{i 0}, P_{i 1},...,P_{i n_i}=P)
＞(i = 1,2,... )が存在する。

まず、円とはなんでしょう？
１点から等距離な点の集まりのことですか?
そうだとして、２点間の距離とはなんでしょう？

点に座標があったとして、点(x[1],y[1])と点(x[2],y[2])の距離dは、
d=√{(x[1]-x[2])^2+(y[1]-y[2])^2}
のことですか？
d=|x[1]-x[2]|+|y[1]-y[2]|
のことですか？

おそらく前者だと思います。それは座標や式を使って書きましたが、それなら単位円をx^2+y^2=1として、円上の点(1,0)と点(x,y)の弧の長さを微分積分を使って書き表し、その逆関数としてsinが定義されます。それが普通の解析学です。

しかし、今は、幾何学的にsinを定義しようとしている。
２点間の距離がd=|x[1]-x[2]|+|y[1]-y[2]|ではなく、
d=√{(x[1]-x[2])^2+(y[1]-y[2])^2}であると主張するなら、それを座標を使わないでどのように説明できますか?

扇形の中心を O、(1, 0)の点を A、もう一方の頂点を P として
周AP の長さ
L(P) := sup{ L(P_0,P_1,...,P_n) | L(P_0,...,P_n)は AP を n 分(等分でなくて良い)した、折れ線(A=P_0, P_1, ..., P_n = P)の長さ }

L(P_0,P_1,...,P_n)が有界なのはどうしてですか？
同じことですが、上限 L(P) が（有限の値として）存在するのは、どうしてですか？

回答No.4

N64

面積を考えて、というのは、積分を考える必要はないと思います。
直角三角形の面積や扇型の面積を比較するだけで、十分です。
これらの面積は、積分を使う必要は全くないと思います。

お礼

確かに、面積概念をすべての出発とする立場もありえそうです。

たとえば、
単位円の扇形の面積の２倍をθとしたり、
単位円の扇形の頂点と底辺{0≦x≦1}とでできる三角形の面積の２倍をsinθとでもすると、包含関係からsinθ≦θが分かりそうです。
同様に、θ≦tanθも分かり、
lim sinθ/θ =1 を面積を使っての証明もありえるかもしれません。

でも、そうするとsin^2θ+cos^2θ=1は面積で解釈すると、不明確です。

「面積」での定義はあまりメリットがないと思うのですが。

がんばって、「面積の概念」→「距離の概念」の対応を考えようとしましたが、無理っぽく思っています。

回答No.3

jamf0421

tanx>x>sinx(0<x<π/2)の初等幾何学を使う厳密な証明は、探せば他でも出てくるでしょうが、たとえば一松信 「解析学序説」（裳華房）の第I章 微分法の中の三角函数の微分の中にかいてあります。（定理１．７）循環論法にはなっていないと思います。

お礼

ありがとうございます。
tanx>x>sinx(0<x<π/2)の初等幾何学を使う厳密な証明とは、まだよくわかりませんが、問題の核心はsinxの定義をどうするかですが、
厳密にするためには、幾何の概念を一端離れて、解析的に積分などで定義するのが主流だと思います。

sinxの定義をどうするかですが、幾何的に、なにか公理っぽいものをもうけて、理論展開できるかなとも思いましたが（たとえば面積の概念を使って）、そうとう無理があるように感じています。

回答No.2

mis_take

三角関数の独立変数θの単位を弧度（ラジアン）と言い，単位円の扇形の弧の長さと言っていますが，それは高校生など初学者にわかりやすいように言ったもので，実際は単位円の扇形の面積の２倍をθとします。
そうすると，360゜＝2π となります。
ただし，このπは円周率（演習÷直径）ではなくて円積率（面積÷半径^2）（あるいは単位円の面積）です。
このこと（θの単位の定義）に積分は使われていません（円の面積が半径^2に比例することだけでいいのです）。
lim sinθ/θ =1 は仰るとおり面積を使って示されます（弧の長さでは示すことはできません）。
積分を用いて円の面積が πr^2 になるのは，当然のことが確認できたというだけのことです。
円周が２πｒになることが積分で定義されるのです。
ここで初めて円積率のπが円周率と一致することがわかります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

普通、x軸やy軸には座標が与えられていて、線分長はその差で表し、
面積や弧長は、極限で表し、結局それは積分で表される。という手順と思います。

「面積」をすべての出発とするということは、面積に座標が与えられていると思ったとします。単位円の扇形の面積の２倍をθとするのもいいと思います。でも、そのときの、sinθがなにを意味するのか不明確です。
仮にそれを、単位円の扇形の頂点と底辺{0≦x≦1}との面積の２倍とでも定義したとしましょう。
すると、sinθ≦θが分かりそうです。同様に、θ≦tanθも分かり、
lim sinθ/θ =1 を面積を使っての証明もありえるかもしれません。

でも、そうするとsin^2θ+cos^2θ=1は面積で解釈すると、不明確です。

「面積」での定義はあまりメリットがないと思うのですが。

がんばって、「面積の概念」→「距離の概念」の対応を考えようとしましたが、無理っぽく思っています。

回答No.1

koko_u_

面積ではなく、円周を考えることで極限を求めることができます。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle4.htm

この議論を見ると、数学的に厳密に議論を進めることが実はかなり困難(面倒)な作業であることがわかって興味深いですね。

お礼

ありがとうございます。以下引用です。

円弧上で長さがxのところまでの角をxラジアンと定義するわけだが、その前に円弧に長さが定義されていなければならない。円弧の長さは折れ線の長さの上限で定義する。xラジアンになるべき位置の円弧の長さがxになるということは、その円弧の折れ線近似の上限がxになるということで、それを証明することは円周の長さが内接多角形の周の上限になることの証明と同値、そしてそれはlim[x→0]sinx/x=1と同内容。アララ