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cosx/sinxの積分を教えてください

cosx/sinx (=1/tanx) の積分がわからないです。 答えは(sinx)^2になるらしいのですが、どう計算したらいいのかわかりませんでした。

質問者が選んだベストアンサー

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  • Knotopolog
  • ベストアンサー率50% (564/1107)
回答No.3

時間が経ったので,もう,用済みかも知れませんが, まだ締め切られていないので,書き込んでおきます. 求める答えは   ∫cosx/sinx dx  ・ ・ ・ ・ ・(1) ですね.まず,   w = sinx  ・ ・ ・ ・ ・(2) とおきます.(2)式を微分すると,(dw/dx) = cosx なので,   dw = cosx dx ・ ・ ・ ・ ・(3) が得らます.(1)式は,変形すると,   ∫cosx/sinx dx = ∫(cosx dx)/sinx  ・ ・ ・ ・ ・(4) と書けるので,この(4)式は(2)式と(3)式を用いて,   ∫cosx/sinx dx = ∫(cosx dx)/sinx = ∫(dw)/w   ・ ・ ・(5) となります.(5)式の ∫(dw)/w は ∫(1/w)dw のことなので, ∫(1/w)dw = ln(w) + C です. ln(w) は w の自然対数で,C は積分定数です. したがって,(2)式により,w = sinx なので,求める答えは,   ∫cosx/sinx dx = ln(sinx) + C です.質問にある「答えは(sinx)^2」は (sinx)^2 を x で微分すると ((sinx)^2)' = 2 sinx cosx となるので,∫cosx/sinx dx の答えではありません.

saifer
質問者

お礼

確かにそうですね 高校数学をすっかり忘れてました^^;

その他の回答 (2)

  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)
回答No.2

答えは(sinx)^2になるらしい・・・? cosx/sinx (=1/tanx) の積分 他の人から聞いた・・・?のですか・・・? ∫cosx/sinx dx は sinx=tなどと置けば cosxdx=dtとなって ∫dt/t  ・・・にできる。 今一度、教科書を読み直した方が宜しいかと・・・。

  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)
回答No.1

sinx = tと置いて、置換積分します。 dt/dx = t' = cos xなので、 cosx/sinx = t' / tの形です。 > 答えは(sinx)^2になるらしいのですが、 微分しても、cosx/sinxに戻らない気がします。

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