1/(sinx+cosx)の積分

質問

1/(sonx+cosx)の積分がわかりません。

置換席分にするのでしょうか？どなたか教えてください。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

sin(x)+cos(x)=√2*cos(x-π/4)なので
t=x-(π/4)と置換すれば
1/cos(t)の積分になります。

(1/√2)∫dt[1/cos(t)]
=(1/√2)∫dt[cos(t)/{cos(t)}^2]
=(1/√2)∫dt[cos(t)/{(1-sin(t))(1+sin(t))}]

sin(t)=uと置換,dt*cos(t)=duより

=(1/√2)∫[1/{(1-u)(1+u)}]du
=(√2/4)∫[{1/(1-u)}+{1/(1+u)}]du
=(√2/4)[-log|1-u|+log|1+u|]+C
=(√2/4)[-log(1-sin(t))+log(1+sin(t))]+C
=(√2/4)log[{1+sin(x+π/4)}/{1-sin(x+π/4)}]+C

回答No.3

info22

#2です。
最後の行の代入のミスを訂正して下さい。
> =(√2/4)log[{1+sin(x+π/4)}/{1-sin(x+π/4)}]+C
=(√2/4)log[{1+sin(x-π/4)}/{1-sin(x-π/4)}]+C

検算）これを微分すると元の積分の被積分関数に戻りますので結果は合っています。

なお、#1さんの結果も微分すると元の積分の被積分関数に戻りますのでA#1の結果も合っています。
両者の積分結果の式を変形して行けば一致しますので、両方とも正解です。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。
２種の回答がいただけたのでとても参考になりました。
これからどんどん問題が解けるようにがんばりたいとおもいます。

回答No.1

nious

分母を√2sin(x+π/4)と合成しても出来ますが、tan(x/2)=tと置換しても、
(1/√2)log|tan(x/2+π/8)|+C

お礼

ありがとうございます！
やっぱ置換するしかないんですね。。。
置換積分は苦手なのでもっと勉強していきたいと思います。