微分

質問

皆さん、こんばんわ。
今、数学の勉強をしているのですが、どのように解くかわかりません。
誰か教えてくれませんか？
くわしく。。。

お願いします

（１）
y=sinX・((cos)＾2X)

(2)
ｙ＝((tan＾2(2x＋1）

(3)
y=sinX/１＋((cos＾2)X)

(4)
ｙ＝ｘ＾2(sin(1/x))

回答No.4

oshiete_goo

＞答えは
（１） (cos＾4)x　-3((sin＾2)X)・(cos＾2)
(2)　6(tan＾2)・（2x＋1)/cos＾2(2x＋1)

だとすると，問題が間違いで，この答えになるには
（１）sinX・cos^3X
（２）tan^3(2X+1)
です．

どうも信用できない問題集のようですので，もっと信頼できるものを使って勉強された方が無駄な混乱が少なくて済むと思います．

回答No.3

fushigichan

pika1588さん、こんばんは。

＞（１）
y=sinX・((cos)＾2X)

これは、sinX=tと置いてしまうと、簡単になるのでは？
y=sinX・cos^2X
=sinX(1-sin^2X)
=t(1-t^2)
=t-t^3

ここで、dy/dx=(dt/dx)*(dy/dt)
　　　　　　　=cosX*(1-3t^2)
　　　　　　　=cosX*(1-3sin^2X)
　　　　　　　=cosX(1-3(1-cos^2X))
　　　　　　　=3cos^3X-2cosX

＃１さんのように、積の微分法によってもいいです。
答えは同じになっています。

＞(2)
ｙ＝((tan＾2(2x＋1）

これも、私は2x+1=tと置いちゃうのが好きですね。
y=tan^2(2x+1)

dt/dx=2ですから
dy/dx=(dt/dx)*(dy/dt)
　　　=2*(tan^2t)'←tで微分
　　　=2*2tant*(1/cos^2t)
　　　=4tan(2x+1)/cos^2(2x+1)

＞(3)
y=sinX/１＋((cos＾2)X)

y=sinx/(1+cos^2x)=sinx/(1+1-sin^2x)
=sinx/(2-sin^2x)
とおいて、sinx=tと置きましょう。

dt/dx=cosxですね。

dy/dx=(dt/dx)*(dy/dt)・・・（★）
　　=cosx*{t/(2-t^2)}'←tで微分

ここで、{t/(2-t^2)}'←ｔで微分は、
={1*(2-t^2)-t(-2t)}/(2-t^2)^2
=(2+t^2)/(2-t^2)^2

よって（★）=cosx*(2+t^2)/(2-t^2)^2
=2cosx(2+sin^2x)/(1+cos^2x)^2
=2cosx(3-cos^2x)/(1+cos^2x)^2

＞(4)
ｙ＝ｘ＾2(sin(1/x))

y=x^2*sin(1/x)
dy/dx=(x^2)'*sin(1/x)+x^2*(sin(1/x))'
　　=2x*sin(1/x)-x^2*cos(1/x)

となると思います。頑張ってください。

補足

ありがとうございます。
参考書に答えだけ載っていたのですが、（１）と（２）が一致していなくてどちらが正しいのかと思いました、

答えは
（１）
(cos＾4)x　-3((sin＾2)X)・(cos＾2)

(2)

6(tan＾2)・（2x＋1)/cos＾2(2x＋1)

回答No.2

oshiete_goo

＃１ですが，大ウソで，
（２）はtanの微分なので
y'＝2tan(2x＋1)・{tan(2x＋1)}'
　＝2tan(2x＋1)・{1/cos^2(2x＋1)}・(2x＋1)'
　＝4tan(2x＋1)/cos^2(2x＋1)

でした．失礼いたしました．他にもミスがないかご検討ください．

回答No.1

oshiete_goo

公式通りやってみることです．
（１）y＝sinX・cos^2X　[cos^2X＝(cosX)^2のこと]
積の微分法により
y'＝cos^3X－2sin^2X・cosX

（２）ｙ＝tan＾2(2x＋1）
合成関数の微分法により
y'＝2tan(2x＋1)・(2x＋1)'＝4tan(2x＋1)

（３）y＝sinX/(１＋cos^2X)
商の微分法により
y'＝ {(sinX)'(１＋cos^2X)－sinX・(１＋cos^2X)'}/(１＋cos^2X)^2
　＝cosX(１＋cos^2X＋2sin^2X)/(１＋cos^2X)^2
　＝cosX(２＋sin^2X)/(１＋cos^2X)^2

（４）y＝ｘ＾2・sin(1/x)
積の微分法により
y'＝2X・sin(1/x)＋X^2{sin(1/x)}'
　＝2Xsin(1/x)+X^2・cos(1/x)・(－1/x^2)
　＝2Xsin(1/x)－cos(1/x)

などとなりそうです．

補足

ありがとうございます。
参考書に答えだけ載っていたのですが、（１）と（２）が一致していなくてどちらが正しいのかと思いました、

答えは
（１）
(cos＾4)x　-3((sin＾2)X)・(cos＾2)

(2)

6(tan＾2)・（2x＋1)/cos＾2(2x＋1)