合成関数の偏微分法を用いた解き方

質問

いつもお世話になっています。
以下の問題を解いてみたのですが、あっているのか自信がもてません。
（特に、(4)(5)のsinθ,cosθが含まれるケース）
間違いなど、あればご指導のほど、よろしくお願いいたします。

【問題】
「合成関数の偏微分法」を用いて、継ぐの合成関数についてZu,Zv(またはZθ,Zr)を求めよ。

(2) z=x^2-y, x=u+v, y=uv

Zu = Zx・Xu + Zy・Yu
= 2x・1+(-1)・v=2x-v
Zv = Zx・Xv + Zy・Yv
= 2x・1+(-1)・u=2x-u

(3) z=e^x・sin(y), x=u-v, y=uv

Zu = Zx・Xu + Zy・Yu
= e^x・sin(y)・1+e^x・cos(y)・v
= e^x・sin(y)+v・e^x・cos(y)
Zv = Zx・Xv + Zy・Yv
= x^x・sin(y)・(-1)+e^x・cos(y)・u
= -e^x・sin(y)+u・e^x・cos(y)

(4) z=x+y, x=r・cosθ, y=r・sinθ

Zθ= Zx・Xθ + Zy・Yθ
= (1)・(-r・sinθ)+(1)・(r・cosθ)
= (-r・sinθ)+(r・cosθ)
= -r(sinθ-cosθ)
Zr = Zx・Xr + Zy・Yr
= (1)・(cosθ)+(1)・(sinθ)
= sinθ+cosθ

(5) z=x^2+2xy, x=r・cosθ, y=r・sinθ

Zθ= Zx・Xθ + Zy・Yθ
= (2x+2y)・(-r・sinθ)+(2x)・(r・cosθ)
= 2{(x+y)(-r・sinθ)+x(r・cosθ)}
= -2r{(x+y)(sinθ)-x(cosθ)}
= -2r(x・sinθ+y・sinθ-x・cosθ)
= -2r(r・cosθ・sinθ+r・sinθ・sinθ-r・cosθ・cosθ)
= -2r^2(cosθ・sinθ+sinθ・sinθ-cosθ・cosθ)
= -2r^2(sin^2θ+cosθsinθ-cos^2θ)
Zr = Zx・Xr + Zy・Yr
= (2x+2y)・(cosθ)+(2x)・(sinθ)
= 2{(x+y)・(cosθ)+(x)・(sinθ)}
= 2{x・cosθ+y・cosθ+x・sinθ}
= 2{r・cosθ・cosθ+r・sinθ・cosθ+r・cosθ・sinθ}
= 2r{cosθ・cosθ+sinθ・cosθ+cosθ・sinθ}
= 2r{cos^2θ+2・sinθ・cosθ}
= 2r・cosθ{cosθ+2・sinθ}

以上、よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

(2)
OK

(3)
> = x^x・sin(y)・(-1)+e^x・cos(y)・u
「x^x」→「e^x」
以外はOK

(4)
OK

(5)
合っています。

ただし最終的な式の整理の仕方は色々ありますのでたの式の答もありえます。
たとえば
Zθ=-r^2(sin2θ-2cos2θ)
Zr=r(1+cos2θ+2sin2θ)
という式の答もあります。

お礼

いつも丁寧なアドバイスをしていただき、ありがとうございます。
(5)の式の書き方はいろんな方法があるんですね。
大変参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#111804

（２）
OKです。

（３）
OKです。

お礼

お返事が遅くなりました。
早速、チェックしていただき、ありがとうございました。
助かりました。