- ベストアンサー
偏微分
z = sin^2(x+y)-sin^2(x)-sin^2(y) コレを偏微分したいのですが・・・。 sin^2(x)の微分は・・sin(x)cos(x)ではないんですか？
- akatukinoshoujyo
- お礼率2% (3/148)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
この場合の偏微分ってのは、二通りの答えになります。ｘで偏微分した場合と、ｙで偏微分した場合です。 で、問題の「sin^2(x)」の微分ですが、 a=sin^2(b) を a=c^2 , c=sin(b) とおくと、 da / dc = 2c となります。 da/db = (da/dc) * (dc/db) ですから、 da/db = 2c * cos(b) = 2 * sin(b) * cos(b) となります。 ここまでくればとけると思いますのでがんばってください。
その他の回答 (1)
∂z/∂x=2sin(x+y)・cos(x+y)-2sinx・cosx ∂z/∂y=2sin(x+y)・cos(x+y)-2siny・cosy ですね。 ＞sin^2(x)の微分は・・sin(x)cos(x)ではないんですか？ xでの偏微分であれば合ってます。yのよる偏微分なら0です。
関連するQ&A
- 偏微分・全微分を使った証明
力学のある問題の証明で困っております。 z(x,y） zはx,yを変数に持つ関数（式は具体的には指定されていない） x=rcosα-ssinα y=rsinα+scosα （αは定数） の時 ∂^2ｚ/∂x^2+∂^2z/∂y^2 = ∂^2z/∂r^2+∂^2z/∂s^2 を証明せよ。 （^2は二階微分） です。 全微分を駆使して証明するようなのですが、私のやり方では右辺を展開する途中で ∂^2z/（∂r∂x）cosα+∂^2z/（∂r∂y）sinα-∂^2z/（∂s∂x）sinα+∂^2z/（∂s∂y）cosα が出てきました。（ここまで合ってればいいのですが・・・） そうすると、sinαとcosαの係数にある微分記号の分母∂ｘ,∂yが邪魔で、この先どう変形して良いのかわからず、左辺の式まで持っていけません。 どなたかわかりませんでしょうか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 合成関数の偏微分
z=f(x,y)で x=rcosθ y=rsinθ としたとき ∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y) ∂z/∂θ = r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} となりますよね。 次にこれらを ∂z/∂r = P ∂z/∂θ = Q とおいて 2階偏導関数 ∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r) ∂Q/∂θ = (∂Q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂Q/∂y)(∂y/∂θ) を求めたいのですが ∂P/∂x や ∂Q/∂x を求めるときに cosθ(∂z/∂x) についている cosθ や r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} についている r は 定数として扱うべきなのでしょうか？それとも変数とみて積の微分法を 用いればよいのでしょうか？ 考えてみれば cosθ = x/r で (x,r)の関数ですから cosθは xで偏微分できそうですし r=x/cosθ で (x,θ)の関数ですから rも偏微分できそうです。 しかし解答をみる限りでは偏微分していません。 誰か教えていただけるとありがたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 合成関数の偏微分について
z=f(x,y)で x=rcosθ y=rsinθ と置いたとき ∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y) ∂z/∂θ = r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} となりますよね。 次にこれらを ∂z/∂r = P ∂z/∂θ = Q とおいて 2階偏導関数 ∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r) ∂Q/∂θ = (∂Q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂Q/∂y)(∂y/∂θ) を求めたいのですが ∂P/∂x や ∂Q/∂x を求めるときに cosθ(∂z/∂x) についている cosθ や r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} についている r は 定数として扱うべきなのでしょうか？それとも変数とみて積の微分法を 用いればよいのでしょうか？ 考えてみれば cosθ = x/r で (x,r)の関数ですから cosθは xで偏微分できそうですし r=x/cosθ で (x,θ)の関数ですから rも偏微分できそうです。 しかし解答をみる限りではいずれも定数として扱われているようです 何故だかさっぱりわかりません。 どなたか知恵を貸していただけるとありがたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 偏微分の証明問題について
偏微分のチェイン・ルールを使った証明問題がわかりません. z=f(x,y) , x=ucosα-vsinα , y=usinα+vcosα とするとき, z[xx] + z[yy] = z[uu] + z[vv] が成り立つことを示せという問題で, まず右辺のz[uu]を導く段階で z[uu] = (z[u])[u] = (z[x]・cosα + z[y]・sinα)[u] =(z[x])[u]・cosα+(z[y])[u]・sinα ・・・(1) =(z[xx]・cosα+z[xy]・sinα)・cosα + (z[yx]・cosα+z[yy]・sinα)・sinα ・・・(2) (1)から(2)がなぜ出てくるのかが理解できないです. よろしくお願いします.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 方向微分
ω＝f(x、y、z)上の点(x0、y0、z0)における(cosα、cosβ、cosγ)方向への方向微分を求めよ。 (ただしベクトル(cosα、cosβ、cosγ)はx軸、y軸、z軸とのなす角がそれぞれα、β、γであるような単位ベクトル(方向余弦)である) 問題は以上です。 私の解いた回答は ω＝f(x、y、z)を一次化するとdω＝(∂f/∂x)dx＋(∂f/∂y)dy＋(∂f/∂z)dz 点(x0、y0、z0)からの方向微分なので dω＝∂f/∂x(x0、y0、z0)dx＋∂f/∂y(x0、y0、z0)dy＋∂f/∂z(x0、y0、z0)dz となる。 よって (cosα、cosβ、cosγ)方向への方向微分＝ ｛∂f/∂x(x0、y0、z0)cosα＋∂f/∂y(x0、y0、z0)cosβ＋∂f/∂z(x0、y0、z0)cosγ｝／√cos^2α＋cos^2β＋cos^2γ なのですがうまくまとまらず、もっときれいな形になるのではないかと思うのですが・・・。 どなたかアドバイスをお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素関数cos(z)の微分について
w=u+iv=cos(z)とおいたときに，wがzの全域でコーシー・リーマン方程式（∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x）を満たすことを示し，微分係数を求めよ．（z=x+iy，iは虚数単位） と言う問題です． 解答を見てみると， cos(z)=cos(x)cosh(y)-isin(x)sinh(y) の加法定理の関係式を使い， u=cos(x)cosh(y) v=-sin(x)sinh(y) したがって， ・∂u/∂x=-sin(x)cosh(y) ・∂u/∂y=cos(x)sinh(y)・・・I ・∂v/∂x=-cos(x)sinh(y) ・∂v/∂y=-sin(x)cosh(y)・・・II よって，コーシー・リーマン方程式を満たしている． となっていました． 疑問なのは，複素関数cos(z)の微分について調べているのに，IとIIでそれぞれcosh(y)，sinh(y)の微分をしていることです． cosh(y)=cos(iy)，isinh(y)=sin(iy) なので，これも複素関数の微分となり，ここでは使ってはいけないのではないのでしょうか？ ほかの方法があれば教えてください．また， {cosh(y)}'=sinh(y)，{sinh(y)}'=cosh(y) となる理由もよろしくお願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分の問題です。参考書が違うような気がします。
よろしくお願いします。 ある参考書で、 ｙ＝sin＾２（３ｘ）、を微分すると、ｙ’＝６sin３ｘ・cos３ｘと書いてあります。 しかし、学校で習ったときには、まずsin^２（３ｘ）を微分して、３ｘを微分したものをかけて、さらに sin３ｘを微分したものを掛ける、と教わりました。なので、 ｙ’＝３・２sinx（sin3x）’だから、答は ｙ’＝１８sin3x・cos3x、だと思うのですが、どこか違っていますか？くわしい方、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 簡単な偏微分についての質問です。
例えば、Ｌ＝cos(x-y) という関数があったとき、 Ｌをxについて偏微分すると -sin(x-y) Lをyについて偏微分すると -sin(x-y) で正しいですよね？ どうもyについて偏微分したときに sin(x-y)となるという話がでてきて混乱してます。 どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
