合成関数の微分が。。。

質問

くだらないことなのですが、合成関数の微分が全くわかりません。
どこを見ても、ｆ（ｘ）だｇ（ｘ）だの記号で書かれていていまいちパッとしません。
簡単な例で、-x*yを合成関数の微分で考えると、どのようになるのでしょうか？

回答No.4

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

合成関数の微分は、
ｄｙ／ｄｘ　＝　ｄｙ／ｄｔ・ｄｔ／ｄｘ
です。
これだけです。

ただし、直感的に合成関数の微分とはなんぞや？ということを理解することも大事です。
（意外と、それを知らずに、公式としてしか見ていない人が多い。）

たとえば、
ｙ　＝　５ｘ　を微分したら、　ｄｙ／ｄｘ　＝　５　ですよね？
これは、傾きが常に５であることを表しています。
ｘがｄｘだけ増加するとｙがｄｙだけ増加する。
ｄｙのｄｘに対する割合（変化の割合）が５だと言うことです。

ｄｙ／ｄｘ　の意味を理解したところで、次のステップです。

ｙ　＝　（３ｘ）^2　を考えてみます。
書き直すと　ｙ　＝　９ｘ^2　ですから、ｄｙのｄｘに対する変化の割合（微分）は、
ｄｙ／ｄｘ　＝　１８ｘ
しかし、ここで、違う考え方をしてみます。
ｔ＝３ｘ　と置くと、ｙ＝ｔ^2　と書けます。
ｄｔ／ｄｘ　＝　３、　　ｄｙ／ｄｔ　＝　２ｔ
ですよね？
よって、合成関数の微分は、
ｄｙ／ｄｘ　＝　ｄｙ／ｄｔ・ｄｔ／ｄｘ　＝　２ｔ・３　＝　６ｔ　＝　６・（３ｘ）　＝　１８ｘ
というわけで、見事に同じ結果となりました。

ここからが本題です。直感的理解を試みましょう。
ｙ＝（３ｘ）^2　という関数は、　ｙ＝（ｘ）^2　と形としては同じです。
ですから、ｙを微分した　ｄｙ／ｄｘ　どうしも形としては同じになります。
どこが違うかというと、「勢い」が違います。

ｙ＝（３ｘ）^2　では、ｘが１動くと（３ｘ）は３動きます。ｘが２動くと（３ｘ）は６動きます。
一方、ｙ＝（ｘ）^2　では、ｘが１動いても（ｘ）は１しか動かず、ｘが２動いても（ｘ）も２しか動きません。

これが何を意味しているかというと、
ｙ＝（３ｘ）^2　と　ｙ＝（ｘ）^2　を
ｙ＝（）^2　と　ｙ＝（）^2　というふうに見立てたとき、
ｘが１動いたときのかっこの中の動きが３と１という違いがあります。
それはつまり、
ｙ＝（）^2　のかっこの中身が、ｘが同じだけ動いたときに３倍の違いが出るということ、
もっと言えば、ｙ＝（３ｘ）^2　は　ｙ＝（ｘ）^2　に比べて、ｘの動きに対して３倍敏感だということです！！！（重要）

この「３倍」の違いがどこから出てきたかというと、３ｘを微分した３から来ています！

ですから、
ｙ＝（３ｘ）^2　を微分したものは、ｙ＝（）^2　に　３ｘの微分をかけたもの
ｙ＝（ｘ）^2　を微分したものは、ｙ＝（）^2　に　ｘの微分（というか１）をかけたもの
ということになります。

＞＞＞簡単な例で、-x*yを合成関数の微分で考えると、どのようになるのでしょうか？

－ｘ＊ｙ　は、変数がｘとｙの２つある２変数関数なので、高校では習いません。
ｙがｘの式として表せるのなら別ですが。

お礼

解答ありがとうございます。
具体例と細かいご指導をいただき非常に助かりました。
とても理解しやすく、今まで意味も分からず微分していましたが、その辺りの疑問も同時に解決できました。この内容をメモにとっておきたいと思います。ありがとうございました。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

合成関数の微分は f(g(x)) を x で微分する　とかのはずですけど。

で、独立変数名を f(y), g(x) というように決めると

df(g(x))/dx = df(y)/dy (g(x))・(dg(x) / dx)

となります。 y=g(x) になっているところが肝です。

お礼

解答ありがとうございます。
今のケースだと、f(y)＝-x　g(x)＝ｙということですよね。
わかってきました。
たすかりました。ありがとうございます。

回答No.2

Willyt

ｙがｘだけの関数だとしていいのなら -x*y の微分は次のようになります。

（-ｘ＊ｙ）’＝-ｙ-ｘｙ’

お礼

解答ありがとうございます。
後ろはｙで微分するということだったのですね。
理解できてきたような気がします。

回答No.1

noname#157574

(dy/dx)・(-xy)=(-x)'y+(-x)y'=-y-x・(dy/dx)

お礼

さっそくの解答ありがとうございます。
あの公式はこの様な意味だったのですね。
最後の•dy/dxはどのような意味でしょうか？
-xにdy/dxである(-xy)を掛け算するということなのでしょうか？