合成関数の微分公式について

質問

すいません。
なんども。
もうひとつおねがいします。
困っています。

u=f(x),y=g(u)がともに微分可能のとき,
合成関数も微分可能であり、土の式が成り立ちます。

y=g｛f(x)｝=g・f(x)

dy/dx=dy/du・du/dx
または　y'=g'(u)・f'(x)
これを、証明するには、
du/dx= lim f(x＋h)-f(x)/h ,
h→0

dｙ/du= lim g(u＋k)-g(u)/h
h→0
ここで、k=f(x＋h)-f(x)とおくと、kキ0のとき
dy/dx=[g(f(x))]'
　　=lim g(f(x＋h))-g(f(x))/h
まではわかるのですが、

=lim g｛f(x＋h)｝-g｛f(x)｝/｛f(x＋h)-f(x)｝　
・｛f(x＋h)-f(x)｝/h

はどのうに現れるのでしょうか？
できれば、途中計算がほしいです。
お願いします

回答No.3

mmky

参考程度に

y=g(u)=g{f(x)}
dy/dx=dy/du・du/dx
または　y'=g'(u)・f'(x)
これを、証明するには、

du/dx= lim{f(x＋h)-f(x)/h},
h→0
dｙ/du= lim{g{f(x+h)}-g{f(x)}}/ｋ
ｋ→0
ここで、ｋ=u(x+h)-u(x)=f(x＋h)-f(x)
(註：ここのところが少し違っていましたね。ｋはΔuですね。）

{dy/du}{du/dx}=
{lim g{f(x+h)}-g{f(x)}/ｋ}*{lim f(x＋h)-f(x)/h}
=lim g{f(x+h)}-g{f(x)}/{f(x＋h)-f(x)}}*
{f(x＋h)-f(x)/h}
=lim{g{f(x+h)}-g{f(x)}/h}
h→0
=dy/dx
ということでしょうかね。

回答No.2

fushigichan

aya402さん、こんにちは。

＞ここで、k=f(x＋h)-f(x)とおくと、kキ0のとき
dy/dx=[g(f(x))]'
　　=lim g(f(x＋h))-g(f(x))/h
まではわかるのですが、

=lim g｛f(x＋h)｝-g｛f(x)｝/｛f(x＋h)-f(x)｝　
・｛f(x＋h)-f(x)｝/h

はどのうに現れるのでしょうか？

ここで、ｋとは関数uの増分Δuですね。
さて、
dy/dx=[g(f(x))]'
　　=lim g(f(x＋h))-g(f(x))/h
このlimの中身に、同じものを分子・分母にかけても、結果は同じですから
=lim{g(f(x+h)-g(f(x))}*{f(x+h)-f(x)}/{f(x+h)-f(x)}*h
h→0
=lim{g(f(x+h))-g(f(x))}/f(x+h)-f(x)}*lim{f(x+h)-f(x)}/h
h→0　　　　　　　　　　　　　　　　　h→0
ここで、h→0のとき、f(x+h)→0であるからf(x)=uとすれば、
=g'(u)*f'(x)

したがって、y'=g'(u)*f'(x)となります。

回答No.1

hemulen

数学でよく使われる１をかけるという手法では
ないでしょうか、
｛f(x＋h)-f(x)｝／｛f(x＋h)-f(x)｝＝１

分母の有理化などでも使われるていたと思います。