微分の公式について

質問

すいません。
おしえてください。

u=f(x),y=g(u)がともに微分可能のとき、合成関数
y=g(f(x))=g・f(x)
も微分が可能であって、次式が成り立つのに
dy/dx=dydu ・　　du/dx

または
y'=g'(u)・f'(X)

の証明がわかりません。
初心者向けにおしえてください

回答No.2

fushigichan

#１fushigichanです。お返事ありがとうございます。

＞大学の解き方だとどのようにとくのですか？

ちょっと高校レベルを超えているかな、と思うのですが、
実はこの証明には、欠陥があるのです。

Δy/Δx=(Δy/Δu)*(Δu/Δx)

を考えるからには、当然Δx≠0,Δu≠0が必要です。
ところで、dy/dxとは、Δy/Δxにおいて、Δx→0としたときの極限値として
定義されますから、Δxは、むろん0ではないはずです。
しかし、Δu≠0であるという保証はないのです。

実際、ｘの値によっては、Δxが十分小さいとき、
f(x+Δx)と、f(x)は等しいこともありうるが、このとき
Δu=f(x+Δx)-f(x)
は、0になります。

そこで、証明を改良します。
Δu=0のとき、Δy=0ですが、y=g(u)は、微分可能であるから、連続です。
したがって、
Δu→0のとき、g(u+Δu)→g(u)
ゆえに、
Δu→0のとき、Δy→0

ここで、uとΔuとの関数を、
Δu=0のとき、k=0
Δu≠0のとき、k=(Δy/Δu)-(dy/du)
と、定義しましょう。

すると、Δuが0かどうかにかかわらず、
Δy=(dy/du)*Δu+kΔu・・・（★）
が成立します。

さて、y=f(x)は微分可能であるから、もちろん連続です。
したがって、Δx→0のとき、Δu→0
Δx→0のとき、limΔu=0
　　　　　　　Δx→0
ですから、k=0

（★）の両辺を、Δx≠0で割ると、
Δy/Δx=(dy/du)*(Δu/Δx)+k(Δu/Δx)
となるので、ここでΔx→0とすれば、

dy/dx=(dy/du)*(du/dx)+0*du/dx
すなわち、
dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
となります。

無茶苦茶ややこしいですね。私も高校３年のときに
これを読んで理解できませんでした。
これについては、あまり深く考えないでもいいですよ。
＃１の回答だけご理解いただければ、充分だと思います。
頑張ってくださいね！！

回答No.1

fushigichan

pami97さん、こんにちは。

＞u=f(x),y=g(u)がともに微分可能のとき、合成関数
y=g(f(x))=g・f(x)
も微分が可能であって、次式が成り立つ
dy/dx=dy/du*du/dx

を証明したいと思います。
u=f(x),y=g(u)は、それぞれ微分可能であるから、
ｘの増分Δxに対するu,yの増分を、それぞれΔu,Δyとします。
このとき、
Δu=f(x+Δx)-f(x)
Δy=g(u+Δu)-g(u)
と、おけば、
limΔu/Δx=du/dx
Δx→0
limΔy/Δu=dy/du
Δu→0

Δy/Δx=(Δy/Δu)*(Δu/Δx)ですから、
limΔy/Δx=limΔy/Δu*limΔu/Δx
Δx→0　　Δu→0　　　Δx→0
ゆえに、
dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

これは、すなわち
y'=g'(u)*f'(x)
であることになります。

高校の数学では、この証明でよいと思います。
頑張ってください。

お礼

ありがとうございます。
すごく気になったのですが、大学の解き方だとどのようにとくのですか？
できれば、おしえてください