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全微分に関して教えてください。

全微分に関して教えてください。 教科書には、 まず、1階微分方程式:dy/dx=-p(x,y)/q(x,y)が定義され、 p(x,y)dx+q(x,y)dy=0・・・(1) と変形した形が書かれています。 そして、完全形の条件が書かれています。 そこで、(1)が完全形であるための必要十分条件は、 ∂p(x,y)/∂y=∂q(x,y)/∂xと書かれ、 証明が始まるのですが、 [必要条件] pdx+qdyが関数uの全微分であるならば、du=∂u/∂x dx+∂u/∂y dy=pdx+qdy よって、p=∂u/∂x、q=∂u/∂yであり、 ∂p/∂y=∂^2u/∂y∂x=∂^2u∂x∂y=∂q/∂x [十分条件] ∂p/∂y=∂q/∂xとしたとき、 F(x,y)=∫p(x,y)dx・・・(2)とおくと、 p(x,y)=∂F/∂x, ∂q/∂x=∂p/∂y=∂^2F/∂x∂y・・・(3) であるから、∂/∂x(q-∂F/∂y)=0・・・(4) すなわち、q-∂F/∂y・・・(5) はyだけの関数である。 q-∂F/∂y=G(y)・・・(6) よって、 u(x,y)≡∫q(x,y)dy=F(x,y)+∫G(y)dx・・・(7) とおけば、 ∂u/∂y=q(x,y)、∂u/∂x=∂F/∂x=p(x,y) であるから、 du=∂u/∂x dx+∂u/∂y dy=p(x,y)dx+q(x,y)dy・・・(8) となり、証明終了となっております。 必要条件に関しては分かるのですが、 十分条件に関しての証明がよく分かりません。 I、(2)とおく理由 II、(4)となる理由 III、(5)がyだけの関数という意味 IV、その結果、(7)となった過程 上記のI~IVに関して教えていただけませんでしょうか 長々と申し訳ありません。 どうしても理解したいので、 どなたか、教えていただけませんか。 宜しくお願いいたします。 ※数式に関しては、何度か確認したのですが、 間違っていたらご指摘ください。

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(2)とおく理由 pdx+qdyが関数uの全微分となるようなuが存在することを証明するため (4)となる理由 ∂/∂x(q-∂F/∂y)=∂q/∂x-∂^2F/∂x∂y だから ∂q/∂x=∂^2F/∂x∂y・・・(3) から ∂q/∂x-∂^2F/∂x∂y=0 だから ∂/∂x(q-∂F/∂y)=0・・・(4) q-∂F/∂y・・・(5)がyだけの関数という意味 q-∂F/∂y をxで偏微分とすると0となるということは q-∂F/∂y  は xの関数として定数となり xが変化しても q-∂F/∂y  は変化しないから q-∂F/∂y  は yだけの関数である。 (7)の∫G(y)dxは∫G(y)dyの誤りではないでしょうか? q-∂F/∂y=G(y)・・・(6) q=∂F/∂y+G(y) ∫qdy=∫(∂F/∂y+G(y))dy ∫qdy=∫(∂F/∂y)dy+∫G(y)dy ∫q(x,y)dy=F(x,y)+∫G(y)dy・・・(7)

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