早く教えてください偏微分

質問

f(x,y)は何回でも微分できる関数とする。x=r*cosΘ,y=r*sinΘ,g(r,Θ)=f(x,y)とする時、以下の等式が成り立つことを示せ。

∂＾f/∂x＾+∂＾f/∂y＾=∂＾g/∂r＾+(1/r)*(∂g/∂r)+(1/r＾)*(∂＾g/∂Θ＾)

回答No.1

I-love-manabee · ベストアンサー

僕も大学1年ときに悩まされた問題です。
x,yを極座標変換して問題を解くんでしたよね
題意の通り→x=rcosθ,y=rsinθですよね
まぎらわしいから　z＝g(r,θ)=f(x,y)と置きます。
そうすると、
題意の証明問題はｚの関係より
∂＾2z/∂x＾2+∂＾2z/∂y＾2=∂＾2z/∂r＾2+(1/r)(∂z/∂r)+(1/r＾2)(∂＾2z/∂θ＾2)と書きかえることができます。
さて、証明に入ります
合成関数の偏微分を使うと
∂z/∂r=(∂z/∂x)(∂x/∂r)+(∂z/∂y)(∂y/∂r)----------(1)
また、これの2階偏微分は
∂^2z/∂r^2=(∂/∂r){(∂z/∂x)(∂x/∂r)+(∂z/∂y)(∂y/∂r)}
=(∂/∂r)(∂z/∂x)(∂x/∂r)+(∂/∂r)(∂z/∂y)(∂y/∂r)
=(1)(∂/∂r)(∂z/∂x)(∂x/∂r)+(2)(∂z/∂x)(∂/∂r)(∂x/∂r)+(3)(∂/∂r)(∂z/∂y)(∂y/∂r)+(4)(∂z/∂y)(∂/∂r)(∂y/∂r)
ここで注意なんですが上記の式を(1)→第一項,(2)→第二項,(3)→第三項,(4)→第四項とします。
第一項と第三項に注意します。第二項,第四項は簡単に計算できますよね!!
第一項では(∂/∂r)(∂z/∂x)(∂x/∂r)の(∂/∂r)(∂z/∂x)の部分に注目しましょう。
ここの計算が厄介ですよ。
(∂/∂r)(∂z/∂x)(∂x/∂r)＝{(∂/∂x)(∂z/∂x)(∂x/∂r)+(∂/∂y)(∂z/∂x)(∂y/∂r)}(∂x/∂r)

第三項では(∂/∂r)(∂z/∂y)(∂y/∂r)の(∂/∂r)(∂z/∂y)の部分に注目して
同様に計算すれば
(∂/∂r)(∂z/∂y)(∂y/∂r)＝{(∂/∂x)(∂z/∂y)(∂x/∂r)+(∂/∂y)(∂z/∂y)(∂y/∂r)}(∂y/∂r)

第二項、第四項は計算は省略します
よって
第一項、第三項、第二項、第四項の順に書けば
ただし第一項、第三項はさらに計算が必要で
それは省略します(簡単なのでみればすぐにわかります。紙面に書いてみればわかると思いますよ!!)計算結果は以下の通りです。
＝{(∂^2z/∂x^2)(∂x/∂r)^2+(∂^2z/∂y∂x)(∂^2z/∂x∂y)----第一項
+(∂^2z/∂x∂y)(∂x/∂r)}(∂y/∂r)+(∂^2z/∂y^2){(∂y/∂r)^2}----第三項
　+(∂z/∂x)(∂^2x/∂r^2)-------------第二項
+(∂z/∂y)(∂^2y/∂r^2)-------------第四項
∂^2z/∂r^2＝第一項＋第三項＋第二項＋第四項-----------(2)
ここでやっと準備が終わりました。
題意よりx=rcosθ,y=rsinθだから
それぞれrで偏微分すると
∂x/∂r=cosθ　,∂y/∂r=sinθ
さらにこれを偏微分して
∂^2x/∂r^2=(∂/∂r)cosθ=0,∂^2y/∂r^2=(∂/∂r)sinθ=0だから
∂^2z/∂r^2=(∂^2z/∂x^2)cos^2θ+(∂^2z/∂y^2)sin^2θ+2(∂^2z/∂x∂y)cosθsinθ-----------------(3)
(2)でr,θに置き換えて、
∂^2z/∂θ^2=(∂^2z/∂x^2){(∂x/∂θ)^2}+2(∂^2z/∂y∂x)(∂x/∂θ){(∂y/∂θ)^2}+(∂2z/∂x)(∂^2x/∂θ^2)+(∂z/∂y)(∂^2y/∂θ^2)-------(4)
と書けます。
今度は
x=rcosθ,y=rsinθをθで偏微分すると
∂x/∂θ=-rsinθ　,∂y/∂θ=-rcosθ
さらにこれを偏微分します。
∂^2x/∂θ^2=(∂/∂θ)(-rsinθ)=-rcosθ,∂^2y/∂θ^2=(∂/∂θ)(-rcosθ)=-rsinθを(4)に代入します。
代入すると
∂^2z/∂θ^2=(∂^2z/∂x^2){(rcosθ)^2}-2(∂^2z/∂y∂x)(r^2sinθconθ)+(∂2z/∂y^2){(rcosθ)^2}-(∂z/∂x)(rcosθ)-(∂z/∂y)(rsinθ)----(5)
ですね。もうそろそろ回答が見えてきましたね!!
(3)と(5)より
題意(書き換えた形)の
(1/r＾2)(∂g/∂r)+(1/r＾2)(∂＾2g/∂θ＾2)=(∂^2z/∂x^2)(cosθ^2+sinθ^2)+(∂^2z/∂y^2)(cosθ^2+sinθ^2)(-1/r){(∂z/∂x)(cosθ)+(∂z/∂y)(sinθ)}-----------------α
また題意より(書き換えたもの)
(1/r)(∂z/∂r)はＩより
=(1/r){(∂z/∂x)(∂x/∂r)+(∂z/∂y)(∂y/∂r))}
=(1/r){(∂z/∂x)cosθ＋(∂z/∂y)sinθ}--------------β
α+β=∂＾2z/∂r＾2+(1/r)(∂z/∂r)+(1/r＾2)(∂＾2z/∂θ＾2)
よって成り立つことが証明された。

お礼

質問の式が不備だったにもかかわらず適切で丁寧な回答をして戴きありがとうございました。よく分かり大変助かりました！