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微分可能かどうか

微分可能 かどうか。 g(x)をＲ上定義された２回微分可能な関数とし f(x)を f(x)=g(x)+x^2sin(1/x) x≠0 f(x)=g(0) x=0 と定める (1)x≠0として f'(x)を求めよ (2)f(x)はx=0で微分可能であることを示し f'(0)を求めよ (3)f'(x)はx=0で微分可能でないことを示せ お願いします

みんなの回答

  • ellipt01
  • ベストアンサー率0% (0/2)
回答No.1

(1) x ≠ 0なら df/dx = g '(x)+2x sin(1/x)+x^2cos(1/x){ d (1/x) /dx} =g '(x)+2x sin(1/x)-cos(1/x) (2) f '(0)=lim_{D -> +0} { f(D) - f(0) } / D ここで f(D) - f(0) = g(D) + D^2 sin(1/D) - g(0) = g(D) - g(0) + D^2 sin(1/D) 従って f '(0)=lim_{D -> +0} {g(D) - g(0)}/D + lim_{D -> +0} D sin(1/D) = g '(0) + 0 ( |sin(1/D)| <= 1 なので) D -> -0 でも(D=-Sとして lim_{S->+0} とすれば)同じ結果 答えは g '(0) (3) f ''(0)=lim_{D -> +0} { f '(D) - f '(0) } / D (1),(2)より f '(D) - f '(0) = g '(D) + 2D sin(1/D)-cos(1/D) - g '(0) lim_{D -> +0} { f '(D) - f '(0) } / D = g ''(0) + lim_{D -> +0} sin(1/D) - lim_{D -> +0} cos(1/D)/D 最後の2項は不定なので微分不可。 (3)がなんか自信ないですが・・・こんな感じでしょうか？？

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