微分関連の質問

質問

微分を数学IIIで習い始めたばかりなので、分からない事があるので教えて下さい。

1
自然対数eとはなんですか。微分しても変わらないのもと言うのは分かるのですが。受験では一般的にどのようなときに使われるのでしょうか。超簡単に教えて下さい。

2
sin,cosの微分は公式を習いましたが、僕は感覚的に(-sinθ)'=-cosθ
cosθ'=-sinθ,(-cosθ)'=sinθと三角比の単位円を使って出しています。これに問題はないでしょうか。あと上に微分したものをいくつか書きましたが、これはあっているでしょうか？

3
合成関数の微分について教えてください。「xの中身がx一文字以外のときに合成関数である。」などと習いました。これでやって答えはあっていることが多いですが今一分かりません。カチッとした定義などではなく、なにか簡単に合成関数を見極める方法はないでしょうか。

4
y=tan＾3θを微分するとy'はどうなるのでしょうか。これも合成関数らしいですが、。「xの中身がx一文字以外のときに合成関数である。」とは思えません。この式を微分する過程を教えてください。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

１．ネイピア数ｅについて
　ネイピア数ｅは自然対数や指数関数の底として使われるのが一般的です。底をｅにもつと微分や積分したときに余計な係数がでないので便利な数としてよく使われます。
　そのほかに、受験では、リンク先の基本的な定義から、極限値を求めるときにも使われます。よく覚えておいてください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0#.E5.9F.BA.E6.9C.AC.E7.9A.84.E3.81.AA.E5.AE.9A.E7.BE.A9

２．三角関数の微分について
　記された三角関数の微分は間違っていませんが、「(-sinθ)'=-cosθ」は符号をつけずに(sinθ)'=cosθと覚えたほうが簡単でしょう。また、「cosθ'=-sinθ,(-cosθ)'=sinθ」の２つは符号に注意すれば同じことを意味していますので、片方（例えば、(cosθ)'=-sinθ　）だけを覚えたほうがよいと思います。

３．合成関数の見分けについて
　「『xの中身がx一文字以外のときに合成関数である。』」
　これが一番分かりやすい見分け方だと思いますが、これがすべてではありません。
　たとえば、sin(x+3)やsin(x^2)は見分けられるでしょうが、{sin(x)}^2などとなる分からないでしょう。
　微分・積分で合成関数を利用する際は、公式が使える簡単な関数（多項式、三角関数、対数関数、指数関数など）以外のものを解く際に使うものだと思っても良いかもしれません。関数の中に関数が入っている形、これが合成関数の見分け方です（例は次の４項で説明します）。

４．y={tan(θ)}^3の微分
　確かに、θだけの部分に注目すると合成関数のように見えないかもしれませんが、tan(θ)をxと置いて見ると、tanと３乗の合成関数であることが分かります。
　　y≡f(x)＝x^3、x＝g(θ)＝tan(θ)
　　（つまり、ｙ＝f(g(θ)) ・・・関数の中に関数が入っている形）
　そして、合成関数の場合のｙのθに関する微分は
　　y'＝dy/dθ＝dy/dx・dx/dθ
　　　＝df(x)/dx・dg(θ)/dθ
となりますので、それぞれ、df(x)/dxとdg(θ)/dθを求めて、xをtan(θ)に書き戻せば、求める微分が得られます。
　あとは単純な関数の微分ですから、求めてみてください。

お礼

皆様のおかげで合成関数は大体はたぶん理解できたと思います。また、
y≡f(x)＝x^3、x＝g(θ)＝tan(θ)という考え方は大変参考にありました。

ありがとうございました。

回答No.5

noname#69788

eは自然対数の底でe^xは積分定数を除くと微分しても、積分しても変わりません。またlog[e]xを微分すると1/xになります。またeは微分方程式を解くのによくつかいます。

回答No.4

proto

１
eは正確には自然対数の底です。
自然対数はlog[e](x)のことです。

eはlog(e)=1を満たす数です。
log(x)は{log(x)}'=1/xを満たす関数です。

{log(x)}'=1/xなので、受験では、対数関数を微分する問題はほとんど自然対数が使われます。
またy=x^x見たいな関数を微分するときに使う、対数微分法にも自然対数が使われます。

２
数学が得意で勘が身についているなら、試験の時には感覚で解いてしまってもかまいません。
しかし、試験ではないときに、それが正しいいのか自分でよく考えておかないとつまづきますよ。

三角関数の微分の基本は
　　(sinθ)' = cosθ
　　(cosθ)' = -sinθ
です。

なので
　　(-sinθ)' = -(sinθ)' = -cosθ
になります。
これを教えてもらうのではなく、自分で確かめられるようになりましょう。
そうでなくて、本当に感覚だけ、だといつか失敗しますよ。

３
たとえば
　　sin(x^2)
の関数を見たとき。
　　sin(θ)　や　x^2
の関数は知っている(微分の仕方も知っている)でしょうが
　　sin(x^2)
の微分の公式は知りませんよね。
こういったものが合成関数になります。

そのほかに
(sin(x))^2 , x^x , x^sin(x) , log(cos(x)) , e^2x , xsin(x)
などがあります。
見分け方、微分の仕方には、慣れが必要です。
教科書の例題を見ながら、演習問題をゆっくり解いてみてください。
慣れれば暗算できるくらい簡単です。
地道にがんばってください。

４
おっしゃるとおり合成関数です。
　　y = z^3
のzに
　　z = tanθ
を代入してみてください。
　　y = tan^3θ
になるはずです。

ためしに微分してみます。
　　y' = (z^3)' = 3z^2 * z'
　　　　= 3tan^2θ * (tanθ)' = 3tan^2θ * 1/cos^2θ
です。
詳しく書きましたが、慣れれば途中でzを使わなくても簡単です。

回答No.3

lick6

合成関数についてですが自分はこのようにイメージしています。例えば
f(x) = x^2 - 1 とでも置いたとしましょう。
このグラフを考えた後
f(2X) = (2X)^2 - 1
というのを考えてみると X = 1 のとき x = 2 に相当します。
同様に X = 2 のとき x = 4, X = 3 のとき x = 6
つまり本当なら x であるものを 2x にするとグラフ全体が歪む(この場合はx軸が1/2倍される)
そのf(x)に対する歪みの部分を、微分するときに合成関数という概念で考え f(x) で考えれるようにしている、というように考えています。

自然対数eとはあくまでπのように、ある特殊な数なので文字で定義しとくと便利　という程度で平気だと思います。
使われ方は学校で習っているのならすぐに演習問題などをこなしていくと思いますので心配する必要は無いと思います。
ただ、極限でのeの定義は覚えといた方がいいです。
極限の問題で定義を使って答えを出すということもありますので。

>僕は感覚的に(-sinθ)'=-cosθ,cosθ'=-sinθ,(-cosθ)'=sinθと三角比の単位円を使って出しています。
この微分は全部あっています。
公式はおそらく (sinθ)'=cosθ, (cosθ)'=-sinθ だと思いますが
y = 2x のとき y' = 2 とするように -1 という係数がついているだけと思えば普通に納得いくと思います。

y = tan^3θ は y = x^3 であれば y' = 3x^2 ですよね。
しかし実際は x = tanθ であるから (tanθ)' = 1/cos^2θ を合成関数の考え方からかけてやる必要があるので
y' = 3tan^2θ / cos^2θ となります。

回答No.2

Kules

1.自然対数eとはy=a^xのグラフを描いた時にy切片での傾きが１になるようにaの値を決めたものです。まだ数学習い始めとのことなのでまだこのステキさには気づかないと思いますがなかなかステキなやつです。微分しても変わらないということは積分しても変わらないということです。数IIIの積分は単純な計算ですら面倒くさいのでこいつの存在は涙が出るほどうれしい時もあります。
2.何ら問題ないでしょう。自分の覚えやすい形で覚えるのが一番です。ただその方法で考えるのに時間がかかるのは考え物だと思います。
3.通常の関数「x^n・三角関数・指数関数・対数関数」およびそれの和差積商であらわせるもの。これ以外はすべて合成関数と思って差し支えありません。もちろん積のとり方によっては合成関数に含まれるものがあるのですが…
4.これはyをθで微分するということですね？y'=3tan^2θ/cos^2θとなります。まずy=f(u),u=g(θ)とおくと、ｙはuの関数、uはθの関数ということになりますね？g(θ)=tanθ、f(u)=u^3となるところまではよろしいでしょうか？次にuをθで、yをuで微分することを考えると、du/dθ=dg(θ)/dθ=1/cos^2θ、dy/du=df(u)/du=3u^2となりますね？
最後に知りたいのはdy/dθなので、dy/dθ=(dy/du)*(du/dθ)と考えればduの部分が約分できるのでちょうどいいじゃんってことになります(厳密にはdy/duは分数ではないのですが、こう考えた方がしっくりくることが多々あります)あとは求めたdy/du,du/dθを代入すれば完成です。もちろんuをそのまま放置するわけにはいかないのでu=tanθを代入します。
(もし学校で合成関数の表記f(g(θ))を習っているなら、dy/dθ=f'(g(θ))*g'(θ)と考えた方が早いかも知れませんね)
このように、数IIまではyをxで微分することしかありませんでしたが、数IIIでは「何を何で微分するのか」に関して注意する必要があります。
長文となりましたがいかがでしょうか？理解の助けになればと思っております。