単位円

質問

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

三角比の定義で
sinθ=y,cosθ=x,tanθ=y/xがありますが、なぜなのでしょうか。

教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

たとえば、第１象限で単位円上に点Ａ(x,y)をとって、
Ａからｘ軸に垂線ＡＢを引けば、原点をＯとすると
△ＡＯＢは、ＡＯ＝１，ＢＯ＝ｘ、ＡＢ＝ｙ、∠ＡＯＢ＝θ
の直角三角形です。
直角三角形の三角比のとりかたで、
sinθ＝ＡＢ/ＡＯ＝ｙ/１＝ｙ
cosθ＝ＢＯ/ＡＯ＝ｘ/１＝ｘ
tanθ＝ＡＢ/ＢＯ＝ｙ/ｘ
Ａが第２象限にある場合は、∠ＡＯＢ＝180°-θの直角三角形
で考えて（点Ａ(ｘ,ｙ)のｘ座標は負なので、ＢＯの長さは－ｘ
として考えます）、
sin(180°-θ)＝ＡＢ/ＡＯ＝ｙ/１＝ｙ
　　sin(180°-θ)＝sinθなので、sinθ＝ｙ
cos(180°-θ)＝ＢＯ/ＡＯ＝(-ｘ)/１＝－ｘ
　　cos(180°-θ)＝-cosθなので、cosθ=ｘ
tan(180°-θ)＝-tanθ＝ＡＢ/ＢＯ＝ｙ/(-ｘ)＝-ｙ/ｘ
　　tan(180°-θ)=-tanθなので、tanθ=ｙ/ｘ
以下、３，４象限でも同じようにできて、
結局、単位円上の点Ａ(ｘ、ｙ)がどこにあってもＡＯと
ｘ軸で作られる角θの三角比はＡのｘ、ｙ座標を使って
sinθ=y,cosθ=x,tanθ=y/x と表すことができます。

ということですか？

お礼

debutさん
ありがとうございます。
すごくわかりやすかったです。
本当にありがとうございます。

回答No.2

info22

単位円を描いて、単位円上の点(x,y)のx,y座標とθの関係を
半径r=√(x^2+y^2)=√{(cosθ)^2+(sinθ)^2}=1
であることを考慮して、
図とにらめっこして、じっくりと考えて見てください。
そうすれば、分かってくるはずです。

お礼

info22さん
ありがとうございました。
図をしっかり書いて見ました。確認してみたいと思います。

回答No.1

pontiac_gp

お書きの通り「定義」ですので。
定義に「なぜなのでしょうか」と言われてもちょっと困ります。

「こう定義するとどういうメリットがあるのか」というような意味でしょうか？

お礼

pontiac_gpさん
ありがとうございました。
定義をしっかり覚えたいと思います。