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鈍角の三角比の「定義」について

座標上で半径 r の円周上に点 P(x,y) を取り、 円の中心点は0とします。 点 P が第二象限にあるとき(つまりθが鈍角のとき) 鋭角の三角比の定義 ・sinθ=y/r ・cosθ=x/r ・tanθ=y/x と同じ式で鈍角の三角比も定義しますよね?? 教科書などには「定義する」と書いてあるだけなのですが、 これには証明など要らず、「定義」で片付けてしまってよいのでしょうか? よろしくお願いします。

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みんなの回答

  • 回答No.5
  • take008
  • ベストアンサー率46% (58/126)

円を使って定義するのは,一般角の三角関数を意識した定義です。 ほとんどの高校の教科書は,このように定義していますが, 次のように定義している教科書もあります。 ∠Cが鈍角の鈍角三角形ABCにおいて, (180゜-C が鋭角であることに注意) (AよりBCの延長に下ろした垂線AHを書くと理解しやすいでしょう) 正弦定理の元になる  ACsinC=ABsinB が成り立つように,  sinC=sin(180゜-C) と定義する。 余弦定理の元になる  BC=ABcosB+ACcosC が成り立つように  cosC=-cos(180゜-C) と定義する。 この方が,三角形の形を扱う「三角比」の定義にふさわしい気がします。

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  • 回答No.4
  • take008
  • ベストアンサー率46% (58/126)

この定義の式は証明しなくてよい(証明できない)ですが, 正弦定理,余弦定理,相互関係,etc.が鋭角のときと同様に成り立つことは証明しないといけません。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 その他の定理は理解できてます。

  • 回答No.3
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

> これには証明など要らず、「定義」で片付けてしまってよいのでしょうか? そうです。 証明はできないので、定義は覚えるしかありません。 『定義する』っていうのは、ある意味『名付ける』と同じです。 『これこれこういうものをsinと呼ぼう』と決めることが 『sinを定義する』ということです。 『直角三角形の斜辺と高さの比をsinと名付けよう。』 というのが、最初のsinの定義(名付け)でした。 その後θを90度以上に拡張したかったので、 『y/rをsinと名付けよう。』 という新しいsinの定義(名付け)をしました。 (別のものを同じ名前に決めるというのも変な感じがしますが、数学ではよくあることです。) 名付けただけですから、そもそも証明する必要ないです。 sinθ=y/rを証明するというのは、 「ミカンがミカンであると証明しなさい」 と言っているのと同じことになっちゃいますから。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 証明はできないのですね。 どうりで考えても解らないわけです。

  • 回答No.2

「定義」とはまさにそういう物です。 ただしその「定義」今までの事(鋭角での三角比)と矛盾したり、数学理論の発展が望めない「定義」は「良い定義ではない」ので淘汰されます。 鈍角(一般角)の三角比の定義は、鋭角の三角比の定義をも内包し、発展的ですので、well defined です。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございました。

  • 回答No.1
  • edomin
  • ベストアンサー率32% (327/1003)

「定義する」 と言うことは、 「~にき~めた。」 ということです。 それに対する反証が無い限り有効でしょう。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 「定義する」そのままなんですね。

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